Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 70 g газу (He) при 100 kPa і 90 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 70 gM = 4,003 g/molP = 100 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (O₂) переходить від 300 kPa, 20 L, 40 °C до 750 kPa і 250 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 150 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 60 °Ct: 30 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 500 °C і холодним при 5 °C. Вона отримує 1700 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 500 °CT_L = 5 °CQ_H = 1700 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Двигун Карно отримує 110 kW теплоти від джерела з температурою 500 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 20 °C. Уся його робота приводить холодильну машину Карно, яка відводить теплоту з морозильної камери з температурою -25 °C і теж віддає теплоту довкіллю з температурою 20 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_L, що відводиться з морозильної камери.

T_H = 500 °CT₀ = 20 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 110 kW

Q̇_L = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 15 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 15r_c = 2,5k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 15. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r_p = 15k = 1,4

η = %

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 528 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 70/4,003 = 17,49 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 17,49·8,314·363,1/100 = 528 L

Відповідь

V = 528 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 13,36 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 313,1 K, T₂ = 523,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/750)·(523,1/313,1) = 13,36 L

Відповідь

V₂ = 13,36 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 50,1 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2·2,1·(180 − 150) = 126 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 126/(1,5·4,18) = 50,1 °C

Відповідь

t_out = 50,1 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,527 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·2,1·(140 − 60) = 336 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,05)·336 = 319,2 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 319,2/(4,18·50) = 1,527 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,527 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 1088 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/773,1 = 64,02 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,6402·1700 = 1088 kJ

Відповідь

W_max = 1088 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_L = 376,6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T₀ = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Робота двигуна

η = 1 − 293,1/773,1 = 0,6208

Ẇ = 0,6208·110 = 68,29 kW

Теплота, відведена холодильною машиною

COP_R = 248,1/(293,1 − 248,1) = 5,514

Q̇_L = 5,514·68,29 = 376,6 kW

Відповідь

Q̇_L = 376,6 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 57,98 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(2,5^1,4 − 1)/(1,4·(2,5 − 1)) = 1,241

Термічний ККД

η = 1 − 0,3385·1,241 = 57,98%

Відповідь

η = 57,98%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 53,87 %

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Термічний ККД

η = 1 − 1/15^0,2857 = 1 − 1/2,168 = 53,87%

Відповідь

η = 53,87%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1