Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 30 L містить 120 g газу (N₂) при 5 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 120 gM = 28,01 g/molV = 30 LT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (N₂) переходить від 250 kPa, 10 L, 25 °C до 450 kPa і 250 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Ct: 30 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 1600 kJ теплоти від резервуара з температурою 325 °C і віддає 891 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 325 °CQ_H = 1600 kJQ_L = 891 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 2600 kJ теплоти від резервуара з температурою 350 °C, виконує 702 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 10 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 350 °CT_L = 10 °CQ_H = 2600 kJW = 702 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,2. На початку стиснення повітря має температуру 305 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 14r_c = 2,2T₁ = 305 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 16. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r_p = 16k = 1,4

η = %

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 330,2 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 120/28,01 = 4,284 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Тиск

P = nRT/V = 4,284·8,314·278,1/0,03 = 330,2 kPa

Відповідь

P = 330,2 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 9,748 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 298,1 K, T₂ = 523,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/450)·(523,1/298,1) = 9,748 L

Відповідь

V₂ = 9,748 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 27,22 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·3,6·(140 − 80) = 108 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 108/(1,5·4,18) = 27,22 °C

Відповідь

t_out = 27,22 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,378 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·3,6·(130 − 90) = 288 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·288 = 259,2 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 259,2/(4,18·45) = 1,378 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,378 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 59,94 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 325 + 273,15 = 598,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 598,1·891/1600 = 333,1 K = 59,94 °C

Відповідь

T_L = 59,94 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 2,531 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 2600 − 702 = 1898 kJ

Абсолютні температури

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −2600/623,1 = −4,172 kJ/K

ΔS_L = 1898/283,1 = 6,703 kJ/K

S_gen = 6,703 − 4,172 = 2,531 kJ/K

Відповідь

S_gen = 2,531 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 1057 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 305·14^0,4 = 876,5 K

T₃ = 2,2·876,5 = 1928 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(1928 − 876,5) = 1057 kJ/kg

Відповідь

q_in = 1057 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 54,71 %

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Термічний ККД

η = 1 − 1/16^0,2857 = 1 − 1/2,208 = 54,71%

Відповідь

η = 54,71%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1