Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 320 g газу (He) при 650 kPa і 70 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 320 gM = 4,003 g/molP = 650 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (Ar) переходить від 150 kPa, 2 L, 10 °C до 250 kPa і 180 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 2 LT₁ = 10 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 180 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Ct: 15 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 2100 kJ теплоти від резервуара з температурою 750 °C і віддає 602 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 750 °CQ_H = 2100 kJQ_L = 602 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Два двигуни Карно працюють послідовно. Двигун A отримує теплоту від резервуара з температурою 1000 °C і віддає теплоту проміжному резервуару з температурою T_m. Двигун B отримує всю цю теплоту й віддає теплоту резервуару з температурою 15 °C. Обидва двигуни мають однаковий термічний ККД. Знайдіть T_m в °C.

T_H = 1000 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 19 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 3. На початку стиснення повітря має температуру 295 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 19r_c = 3T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1500 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 18T₁ = 295 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 350,9 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 320/4,003 = 79,94 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 79,94·8,314·343,1/650 = 350,9 L

Відповідь

V = 350,9 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 1,92 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 283,1 K, T₂ = 453,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(150/250)·(453,1/283,1) = 1,92 L

Відповідь

V₂ = 1,92 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 15,02 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·2,1·(150 − 110) = 42 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 42/(2·4,18) = 15,02 °C

Відповідь

t_out = 15,02 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 0,8597 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1,5·2,44·(120 − 60) = 219,6 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·219,6 = 197,6 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 197,6/(4,18·55) = 0,8597 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 0,8597 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 20,15 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1023·602/2100 = 293,3 K = 20,15 °C

Відповідь

T_L = 20,15 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_m = 332,5 °C

Абсолютні температури

T_H = 1000 + 273,15 = 1273 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Однакові ККД

З 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m маємо T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(1273·288,1) = 605,7 K = 332,5 °C

Відповідь

T_m = 332,5 °C

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 2874 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 295·19^0,4 = 957,9 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 3·957,9 = 2874 K

Відповідь

T₃ = 2874 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 466,8 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 295·18^0,2857 = 673,7 K

T₄ = 1500/18^0,2857 = 656,8 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(673,7 − 295) = 380,6 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 656,8) = 847,4 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 847,4 − 380,6 = 466,8 kJ/kg

Відповідь

w_net = 466,8 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 44,91%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1