Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу
pV = nRT
Газова стала
R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон
p1V1/T1 = p2V2/T2
Молі
n = m/M
Температура
T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота
Q = ṁ·cp·ΔT
Прихована теплота
Q = ṁ·hfg
Змішування
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Вода
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД
η = W/QH = 1 − QC/QH
ККД Карно
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP холодильника
COPR = QC/W
COP теплового насоса
COPHP = QH/W = COPR + 1
Енергетичний баланс
QH = W + QC

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів
T2/T1 = rk−1
Ізоентропний процес, відношення тисків
T2/T1 = rp(k−1)/k
ККД циклу Отто
η = 1 − 1/rk−1
ККД циклу Дизеля
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ККД циклу Брайтона
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Підведена теплота
Отто: cv(T3 − T2) Дизель, Брайтон: cp(T3 − T2)
Корисна робота циклу Брайтона
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Ізоентропні ККД
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Холодне повітря
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня
120 g (N₂)P = 300 kPaT = 30 °CV = ?

Який об’єм V займає 120 g газу (N₂) при 300 kPa і 30 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 120 gM = 28,01 g/molP = 300 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Рівняння стану ідеального газуСкладна
Ar, M = 39,95 g/molP = 850 kPaT = 70 °Cρ = ?

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 850 kPa і 70 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 850 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Енергетичний балансСередня
гаряча сторонахолодна сторонагліколева суміш · 170 °C140 °Cвода · 25 °Ct = ? °C

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході tout.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 140 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.Енергетичний балансСкладна
гаряча сторонахолодна сторонаетанол · 130 °C90 °Cвода · 10 °C65 °C · ṁ = ?5% втрат

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁc.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 130 → 90 °Ct: 10 → 65 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %
ṁc = kg/s
5.Теплові машини й холодильникиСередня
TH​ = 30 °CTL​ = -10 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 5 kWẆ

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері -10 °C, відводячи 5 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 30 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇H, який вона віддає.

TL = -10 °CTH = 30 °CQ̇L = 5 kW
Q̇H = kW
6.Теплові машини й холодильникиСкладна
TH​ = 28 °CTL​ = 2 °CRQ̇H​Q̇L​ = 4 kWẆ = ?

Холодильник підтримує в холодній камері 2 °C на кухні при 28 °C, відводячи з камери теплоту 4 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇmin.

TH = 28 °CTL = 2 °CQ̇L = 4 kW
Ẇmin = kW
7.Газові цикли теплових двигунівСередня
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення rc = v₃/v₂ = 2. На початку стиснення повітря має температуру 300 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T3 в кінці підведення теплоти, у K.

r = 14rc = 2T1 = 300 Kk = 1,4
T3 = K
8.Газові цикли теплових двигунівСкладна
vP1234qin​qout​

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1400 K. Ізоентропний ККД компресора 82%, турбіни — 85%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу wnet на кілограм повітря, у kJ/kg.

rp = 18T1 = 288 KT3 = 1400 Kηc = 82%ηt = 85%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 35,99 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 120/28,01 = 4,284 mol
T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 4,284·8,314·303,1/300 = 35,99 L

Відповідь

V = 35,99 L
2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 11,9 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Густина

ρ = 850·39,95/(8,314·343,1) = 11,9 kg/m³

Відповідь

ρ = 11,9 kg/m³
3.Енергетичний баланс

Відповідь: tout = 50,84 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1,5·3,6·(170 − 140) = 162 kW

Теплота, отримана водою

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 162/(1,5·4,18) = 50,84 °C

Відповідь

tout = 50,84 °C
4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁc = 0,605 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Qh = 1,5·2,44·(130 − 90) = 146,4 kW

Теплота, що доходить до води

Qc = (1 − 0,05)·146,4 = 139,1 kW

Витрата води

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 139,1/(4,18·55) = 0,605 kg/s

Відповідь

ṁc = 0,605 kg/s
5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇H = 5,76 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = -10 + 273,15 = 263,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 5·303,1/263,1 = 5,76 kW

Відповідь

Q̇H = 5,76 kW

Споживана потужність: Ẇ = 0,76 kW.

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇmin = 0,378 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 28 + 273,15 = 301,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

Найкращий можливий COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 275,1/(301,1 − 275,1) = 10,58

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇmin = Q̇L/COP = 4/10,58 = 0,378 kW

Відповідь

Ẇmin = 0,378 kW
7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T3 = 1724 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Кінець стиснення

T2 = 300·140,4 = 862,1 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T3 = rc·T2 = 2·862,1 = 1724 K

Відповідь

T3 = 1724 K
8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: wnet = 219,1 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k і η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Корисна робота w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує ws/ηc, а турбіна дає ηt·ws.

Ізоентропні температури

T2s = 288·180,2857 = 657,7 K
T4s = 1400/180,2857 = 613 K

Робота компресора й турбіни

wc = 1,005·(657,7 − 288)/0,82 = 453,1 kJ/kg
wt = 0,85·1,005·(1400 − 613) = 672,3 kJ/kg

Корисна робота

wnet = 672,3 − 453,1 = 219,1 kJ/kg

Відповідь

wnet = 219,1 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: wc/wt = 67,4%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1