Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 50 L містить 220 g газу (N₂) при 30 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 220 gM = 28,01 g/molV = 50 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (CO₂) при 400 kPa і 90 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 44,01 g/molP = 400 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 60 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Ct: 15 → 35 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 500 kJ теплоти від резервуара з температурою 300 °C і віддає 286 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 300 °CQ_H = 500 kJQ_L = 286 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Два двигуни Карно працюють послідовно. Двигун A отримує теплоту від резервуара з температурою 950 °C і віддає теплоту проміжному резервуару з температурою T_m. Двигун B отримує всю цю теплоту й віддає теплоту резервуару з температурою 25 °C. Обидва двигуни мають однаковий термічний ККД. Знайдіть T_m в °C.

T_H = 950 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 19 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,2. На початку стиснення повітря має температуру 295 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 19r_c = 2,2T₁ = 295 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 12. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1400 K. Ізоентропний ККД компресора 80%, турбіни — 85%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 12T₁ = 295 KT₃ = 1400 Kη_c = 80%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 395,9 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 220/28,01 = 7,854 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Тиск

P = nRT/V = 7,854·8,314·303,1/0,05 = 395,9 kPa

Відповідь

P = 395,9 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 5,831 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Густина

ρ = 400·44,01/(8,314·363,1) = 5,831 kg/m³

Відповідь

ρ = 5,831 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 38,42 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1·2,1·(170 − 60) = 231 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 231/(3·4,18) = 38,42 °C

Відповідь

t_out = 38,42 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 0,549 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 0,5·3,6·(130 − 100) = 54 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·54 = 45,9 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 45,9/(4,18·20) = 0,549 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 0,549 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 54,69 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 573,1·286/500 = 327,8 K = 54,69 °C

Відповідь

T_L = 54,69 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_m = 330,7 °C

Абсолютні температури

T_H = 950 + 273,15 = 1223 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Однакові ККД

З 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m маємо T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(1223·298,1) = 603,9 K = 330,7 °C

Відповідь

T_m = 330,7 °C

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 1155 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 295·19^0,4 = 957,9 K

T₃ = 2,2·957,9 = 2107 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(2107 − 957,9) = 1155 kJ/kg

Відповідь

q_in = 1155 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 224,8 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 295·12^0,2857 = 600 K

T_4s = 1400/12^0,2857 = 688,3 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(600 − 295)/0,8 = 383,2 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1400 − 688,3) = 608 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 608 − 383,2 = 224,8 kJ/kg

Відповідь

w_net = 224,8 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 63,03%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1