Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 50 L містить 20 g газу (He) при 55 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 20 gM = 4,003 g/molV = 50 LT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (N₂) при 800 kPa і 60 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 28,01 g/molP = 800 kPaT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 140 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 70 °Ct: 25 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері 0 °C, відводячи 2 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 25 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_H, який вона віддає.

T_L = 0 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 2 kW

Q̇_H = kW

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 22 °C, коли надворі 7 °C, і подає в будинок 5 kW теплоти. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 5 kW

COP_max =

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 19 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 3. На початку стиснення повітря має температуру 305 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 19r_c = 3T₁ = 305 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 15. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1500 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 295 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 272,6 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 20/4,003 = 4,996 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Тиск

P = nRT/V = 4,996·8,314·328,1/0,05 = 272,6 kPa

Відповідь

P = 272,6 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 8,09 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Густина

ρ = 800·28,01/(8,314·333,1) = 8,09 kg/m³

Відповідь

ρ = 8,09 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 30,84 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·2,44·(180 − 140) = 48,8 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 48,8/(2·4,18) = 30,84 °C

Відповідь

t_out = 30,84 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 2,114 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 3·3,6·(120 − 70) = 540 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·540 = 486 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 486/(4,18·55) = 2,114 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 2,114 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_H = 2,183 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 2·298,1/273,1 = 2,183 kW

Відповідь

Q̇_H = 2,183 kW

Споживана потужність: Ẇ = 0,183 kW.

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 19,68

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 280,1) = 19,68

Відповідь

COP_max = 19,68

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 1991 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 305·19^0,4 = 990,4 K

T₃ = 3·990,4 = 2971 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(2971 − 990,4) = 1991 kJ/kg

Відповідь

q_in = 1991 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 465,9 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 295·15^0,2857 = 639,5 K

T₄ = 1500/15^0,2857 = 691,9 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(639,5 − 295) = 346,2 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 691,9) = 812,1 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 812,1 − 346,2 = 465,9 kJ/kg

Відповідь

w_net = 465,9 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 42,63%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1