Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 500 g газу (CO₂) при 250 kPa і 15 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 500 gM = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 500 kPa і 190 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 500 kPaT = 190 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 80 °Ct: 30 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері -20 °C, відводячи 6 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 40 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_H, який вона віддає.

T_L = -20 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 6 kW

Q̇_H = kW

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 3600 kJ теплоти від резервуара з температурою 400 °C, виконує 1260 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 10 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 400 °CT_L = 10 °CQ_H = 3600 kJW = 1260 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 17 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. На початку стиснення повітря має температуру 310 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 17r_c = 2,5T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 16. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r_p = 16k = 1,4

η = %

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 108,9 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 500/44,01 = 11,36 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 11,36·8,314·288,1/250 = 108,9 L

Відповідь

V = 108,9 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 5,187 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273,15 = 463,1 K

Густина

ρ = 500·39,95/(8,314·463,1) = 5,187 kg/m³

Відповідь

ρ = 5,187 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 90,29 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1·2,1·(140 − 80) = 126 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 126/(0,5·4,18) = 90,29 °C

Відповідь

t_out = 90,29 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,989 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2,5·2,1·(130 − 80) = 262,5 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,05)·262,5 = 249,4 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 249,4/(4,18·30) = 1,989 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,989 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_H = 7,422 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 40 + 273,15 = 313,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6·313,1/253,1 = 7,422 kW

Відповідь

Q̇_H = 7,422 kW

Споживана потужність: Ẇ = 1,422 kW.

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 2,916 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 3600 − 1260 = 2340 kJ

Абсолютні температури

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −3600/673,1 = −5,348 kJ/K

ΔS_L = 2340/283,1 = 8,264 kJ/K

S_gen = 8,264 − 5,348 = 2,916 kJ/K

Відповідь

S_gen = 2,916 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 2407 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 310·17^0,4 = 962,8 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 2,5·962,8 = 2407 K

Відповідь

T₃ = 2407 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 54,71 %

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Термічний ККД

η = 1 − 1/16^0,2857 = 1 − 1/2,208 = 54,71%

Відповідь

η = 54,71%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1