Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 30 L містить 10 g газу (O₂) при 95 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 10 gM = 32 g/molV = 30 LT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (CO₂) переходить від 150 kPa, 2 L, 10 °C до 300 kPa і 240 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 2 LT₁ = 10 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 70 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Ct: 15 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 250 °C і холодним при 40 °C. Вона отримує 4500 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 250 °CT_L = 40 °CQ_H = 4500 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері 4 °C на кухні при 32 °C, відводячи з камери теплоту 5 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 32 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 16 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 16r_c = 2k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 10. Повітря надходить у компресор при 290 K, а в турбіну — при 1100 K. Ізоентропний ККД компресора 85%, турбіни — 85%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 290 KT₃ = 1100 Kη_c = 85%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 31,88 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 10/32 = 0,3125 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Тиск

P = nRT/V = 0,3125·8,314·368,1/0,03 = 31,88 kPa

Відповідь

P = 31,88 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 1,812 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 283,1 K, T₂ = 513,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(150/300)·(513,1/283,1) = 1,812 L

Відповідь

V₂ = 1,812 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 51,79 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2·2,1·(150 − 70) = 336 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 336/(3·4,18) = 51,79 °C

Відповідь

t_out = 51,79 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 0,3942 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·2,1·(130 − 100) = 126 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·126 = 107,1 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 107,1/(4,18·65) = 0,3942 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 0,3942 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 1806 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/523,1 = 40,14 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,4014·4500 = 1806 kJ

Відповідь

W_max = 1806 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,5051 kW

Абсолютні температури

T_H = 32 + 273,15 = 305,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277,1/(305,1 − 277,1) = 9,898

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/9,898 = 0,5051 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,5051 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 61,38 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(2^1,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Термічний ККД

η = 1 − 0,3299·1,171 = 61,38%

Відповідь

η = 61,38%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 133,9 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 290·10^0,2857 = 559,9 K

T_4s = 1100/10^0,2857 = 569,7 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(559,9 − 290)/0,85 = 319,1 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1100 − 569,7) = 453 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 453 − 319,1 = 133,9 kJ/kg

Відповідь

w_net = 133,9 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 70,45%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1