Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 190 g газу (Ar) при 10 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 190 gM = 39,95 g/molV = 10 LT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (O₂) переходить від 300 kPa, 2 L, 30 °C до 150 kPa і 160 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 60 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 80 °Ct: 25 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 3200 kJ теплоти від резервуара з температурою 700 °C і віддає 964 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 700 °CQ_H = 3200 kJQ_L = 964 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 18,5 kW теплоти в систему опалення з температурою 35 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою 10 °C. Його дійсний COP становить 60 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 35 °CT_L = 10 °Cη_II = 60%Q̇_H = 18,5 kW

Ẇ = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 18 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 18r_c = 2,5k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 20. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r_p = 20k = 1,4

η = %

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 1120 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 190/39,95 = 4,756 mol

T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Тиск

P = nRT/V = 4,756·8,314·283,1/0,01 = 1120 kPa

Відповідь

P = 1120 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 5,715 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 303,1 K, T₂ = 433,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/150)·(433,1/303,1) = 5,715 L

Відповідь

V₂ = 5,715 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 85,29 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 3·2,1·(140 − 60) = 504 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 504/(2·4,18) = 85,29 °C

Відповідь

t_out = 85,29 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,839 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1·2,44·(150 − 80) = 170,8 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·170,8 = 153,7 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 153,7/(4,18·20) = 1,839 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,839 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 20,01 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 700 + 273,15 = 973,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 973,1·964/3200 = 293,2 K = 20,01 °C

Відповідь

T_L = 20,01 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 2,501 kW

Абсолютні температури

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 308,1/(308,1 − 283,1) = 12,33

COP = 0,6·12,33 = 7,396

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 18,5/7,396 = 2,501 kW

Відповідь

Ẇ = 2,501 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 60,94 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(2,5^1,4 − 1)/(1,4·(2,5 − 1)) = 1,241

Термічний ККД

η = 1 − 0,3147·1,241 = 60,94%

Відповідь

η = 60,94%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 57,51 %

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Термічний ККД

η = 1 − 1/20^0,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Відповідь

η = 57,51%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1