Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 30 L містить 180 g газу (Ar) при 35 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 180 gM = 39,95 g/molV = 30 LT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (He) переходить від 250 kPa, 10 L, 15 °C до 650 kPa і 210 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 80 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 130 °Ct: 25 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 625 °C і холодним при 40 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 625 °CT_L = 40 °C

η_max = %

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 12 kW теплоти в систему опалення з температурою 35 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою 0 °C. Його дійсний COP становить 35 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 35 °CT_L = 0 °Cη_II = 35%Q̇_H = 12 kW

Ẇ = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 18 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 1,8. На початку стиснення повітря має температуру 305 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 18r_c = 1,8T₁ = 305 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1400 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 18T₁ = 295 KT₃ = 1400 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 384,8 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 180/39,95 = 4,506 mol

T = 35 + 273,15 = 308,1 K

Тиск

P = nRT/V = 4,506·8,314·308,1/0,03 = 384,8 kPa

Відповідь

P = 384,8 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 6,449 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 288,1 K, T₂ = 483,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/650)·(483,1/288,1) = 6,449 L

Відповідь

V₂ = 6,449 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 117,6 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 3·2,44·(130 − 80) = 366 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 366/(1·4,18) = 117,6 °C

Відповідь

t_out = 117,6 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 0,9983 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2,5·3,6·(160 − 130) = 270 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·270 = 229,5 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 229,5/(4,18·55) = 0,9983 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 0,9983 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 65,13 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 625 + 273,15 = 898,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/898,1 = 65,13 %

Відповідь

η_max = 65,13 %

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 3,894 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 308,1/(308,1 − 273,1) = 8,804

COP = 0,35·8,804 = 3,081

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 12/3,081 = 3,894 kW

Відповідь

Ẇ = 3,894 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 779,2 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 305·18^0,4 = 969,2 K

T₃ = 1,8·969,2 = 1745 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(1745 − 969,2) = 779,2 kJ/kg

Відповідь

q_in = 779,2 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 410,3 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 295·18^0,2857 = 673,7 K

T₄ = 1400/18^0,2857 = 613 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(673,7 − 295) = 380,6 kJ/kg

w_t = 1,005·(1400 − 613) = 790,9 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 790,9 − 380,6 = 410,3 kJ/kg

Відповідь

w_net = 410,3 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 48,12%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1