Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 270 g газу (CH₄) при 30 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 270 gM = 16,04 g/molV = 10 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (CO₂) при 800 kPa і 150 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 44,01 g/molP = 800 kPaT = 150 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 110 °Ct: 20 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Тепловий двигун отримує теплоту від джерела з температурою 350 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 15 °C. Його дійсний термічний ККД 35 %. Знайдіть його ексергетичний ККД (за другим законом) η_II — відношення дійсного ККД до ККД Карно.

T_H = 350 °CT_L = 15 °Cη = 35%

η_II = %

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 22 °C, коли надворі -10 °C, і подає в будинок 4 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 4 kW

Ẇ_min = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,2. На початку стиснення повітря має температуру 290 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 14r_c = 2,2T₁ = 290 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 10. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r_p = 10k = 1,4

η = %

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 4243 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 270/16,04 = 16,83 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Тиск

P = nRT/V = 16,83·8,314·303,1/0,01 = 4243 kPa

Відповідь

P = 4243 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 10,01 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273,15 = 423,1 K

Густина

ρ = 800·44,01/(8,314·423,1) = 10,01 kg/m³

Відповідь

ρ = 10,01 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 39,19 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2,5·2,44·(140 − 80) = 366 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 366/(3·4,18) = 39,19 °C

Відповідь

t_out = 39,19 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,83 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1·3,6·(160 − 110) = 180 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·180 = 153 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 153/(4,18·20) = 1,83 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,83 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_II = 65,11 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

ККД Карно

η_Carnot = 1 − 288,1/623,1 = 53,76 %

ККД за другим законом

η_II = η/η_Carnot = 35/53,76 = 65,11 %

Відповідь

η_II = 65,11 %

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,4337 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 263,1) = 9,223

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 4/9,223 = 0,4337 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,4337 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 1833 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 290·14^0,4 = 833,4 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·833,4 = 1833 K

Відповідь

T₃ = 1833 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 48,21 %

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Термічний ККД

η = 1 − 1/10^0,2857 = 1 − 1/1,931 = 48,21%

Відповідь

η = 48,21%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1