Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 240 g газу (CH₄) при 90 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 240 gM = 16,04 g/molV = 10 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (N₂) при 200 kPa і 180 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 28,01 g/molP = 200 kPaT = 180 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 70 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 60 °Ct: 25 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Тепловий двигун отримує теплоту від джерела з температурою 800 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 30 °C. Його дійсний термічний ККД 50 %. Знайдіть його ексергетичний ККД (за другим законом) η_II — відношення дійсного ККД до ККД Карно.

T_H = 800 °CT_L = 30 °Cη = 50%

η_II = %

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Два двигуни Карно працюють послідовно. Двигун A отримує теплоту від резервуара з температурою 700 °C і віддає теплоту проміжному резервуару з температурою T_m. Двигун B отримує всю цю теплоту й віддає теплоту резервуару з температурою 15 °C. Обидва двигуни мають однаковий термічний ККД. Знайдіть T_m в °C.

T_H = 700 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 20 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 1,8. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 20r_c = 1,8k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 6. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1100 K. Ізоентропний ККД компресора 88%, турбіни — 92%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 288 KT₃ = 1100 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 4518 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 240/16,04 = 14,96 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Тиск

P = nRT/V = 14,96·8,314·363,1/0,01 = 4518 kPa

Відповідь

P = 4518 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,487 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273,15 = 453,1 K

Густина

ρ = 200·28,01/(8,314·453,1) = 1,487 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,487 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 90,36 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2,5·2,1·(160 − 70) = 472,5 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 472,5/(1,5·4,18) = 90,36 °C

Відповідь

t_out = 90,36 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 4,974 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·2,1·(170 − 60) = 462 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·462 = 415,8 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 415,8/(4,18·20) = 4,974 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 4,974 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_II = 69,69 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

ККД Карно

η_Carnot = 1 − 303,1/1073 = 71,75 %

ККД за другим законом

η_II = η/η_Carnot = 50/71,75 = 69,69 %

Відповідь

η_II = 69,69 %

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_m = 256,4 °C

Абсолютні температури

T_H = 700 + 273,15 = 973,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Однакові ККД

З 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m маємо T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(973,1·288,1) = 529,5 K = 256,4 °C

Відповідь

T_m = 256,4 °C

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 65,6 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(1,8^1,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Термічний ККД

η = 1 − 0,3017·1,14 = 65,6%

Відповідь

η = 65,6%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 187,6 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 288·6^0,2857 = 480,5 K

T_4s = 1100/6^0,2857 = 659,3 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(480,5 − 288)/0,88 = 219,9 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1100 − 659,3) = 407,5 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 407,5 − 219,9 = 187,6 kJ/kg

Відповідь

w_net = 187,6 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 53,96%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1