Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 370 g газу (He) при 50 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 370 gM = 4,003 g/molV = 10 LT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (He) переходить від 350 kPa, 10 L, 35 °C до 100 kPa і 90 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 70 °Ct: 25 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 425 °C і холодним при 15 °C. Вона отримує 2200 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 425 °CT_L = 15 °CQ_H = 2200 kJ

W_max = kJ

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 8 kW теплоти в систему опалення з температурою 35 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою 0 °C. Його дійсний COP становить 55 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 35 °CT_L = 0 °Cη_II = 55%Q̇_H = 8 kW

Ẇ = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 17 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 1,5. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 17r_c = 1,5k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1300 K. Ізоентропний ККД компресора 85%, турбіни — 92%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 18T₁ = 288 KT₃ = 1300 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 24833 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 370/4,003 = 92,43 mol

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Тиск

P = nRT/V = 92,43·8,314·323,1/0,01 = 24833 kPa

Відповідь

P = 24833 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 41,25 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 308,1 K, T₂ = 363,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/100)·(363,1/308,1) = 41,25 L

Відповідь

V₂ = 41,25 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 56,7 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 3·2,44·(120 − 80) = 292,8 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 292,8/(1,5·4,18) = 56,7 °C

Відповідь

t_out = 56,7 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 2,729 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1,5·2,44·(180 − 70) = 402,6 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·402,6 = 342,2 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 342,2/(4,18·30) = 2,729 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 2,729 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 1292 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 425 + 273,15 = 698,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/698,1 = 58,73 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,5873·2200 = 1292 kJ

Відповідь

W_max = 1292 kJ

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 1,652 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 308,1/(308,1 − 273,1) = 8,804

COP = 0,55·8,804 = 4,842

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 8/4,842 = 1,652 kW

Відповідь

Ẇ = 1,652 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 64,85 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(1,5^1,4 − 1)/(1,4·(1,5 − 1)) = 1,092

Термічний ККД

η = 1 − 0,322·1,092 = 64,85%

Відповідь

η = 64,85%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 238,5 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 288·18^0,2857 = 657,7 K

T_4s = 1300/18^0,2857 = 569,2 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(657,7 − 288)/0,85 = 437,1 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1300 − 569,2) = 675,7 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 675,7 − 437,1 = 238,5 kJ/kg

Відповідь

w_net = 238,5 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 64,7%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1