Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 5 L містить 180 g газу (CH₄) при 45 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 180 gM = 16,04 g/molV = 5 LT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 100 kPa і 50 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 100 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 130 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 90 °Ct: 20 → 90 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 475 °C і холодним при 40 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 475 °CT_L = 40 °C

η_max = %

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 17 kW теплоти в систему опалення з температурою 20 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою 5 °C. Його дійсний COP становить 50 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 20 °CT_L = 5 °Cη_II = 50%Q̇_H = 17 kW

Ẇ = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 16 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 16r_c = 2,5k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 10. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1400 K. Ізоентропний ККД компресора 85%, турбіни — 92%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 288 KT₃ = 1400 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 5937 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 180/16,04 = 11,22 mol

T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Тиск

P = nRT/V = 11,22·8,314·318,1/0,005 = 5937 kPa

Відповідь

P = 5937 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,487 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Густина

ρ = 100·39,95/(8,314·323,1) = 1,487 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,487 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 35,57 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2·2,44·(170 − 130) = 195,2 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 195,2/(3·4,18) = 35,57 °C

Відповідь

t_out = 35,57 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,268 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 2·2,44·(170 − 90) = 390,4 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,05)·390,4 = 370,9 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 370,9/(4,18·70) = 1,268 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,268 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 58,14 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 475 + 273,15 = 748,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/748,1 = 58,14 %

Відповідь

η_max = 58,14 %

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 1,74 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 293,1/(293,1 − 278,1) = 19,54

COP = 0,5·19,54 = 9,772

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 17/9,772 = 1,74 kW

Відповідь

Ẇ = 1,74 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 59,05 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(2,5^1,4 − 1)/(1,4·(2,5 − 1)) = 1,241

Термічний ККД

η = 1 − 0,3299·1,241 = 59,05%

Відповідь

η = 59,05%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 307,1 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 288·10^0,2857 = 556 K

T_4s = 1400/10^0,2857 = 725,1 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(556 − 288)/0,85 = 316,9 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1400 − 725,1) = 624 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 624 − 316,9 = 307,1 kJ/kg

Відповідь

w_net = 307,1 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 50,79%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1