Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 420 g газу (CH₄) при 700 kPa і 5 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 420 gM = 16,04 g/molP = 700 kPaT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (CO₂) при 850 kPa і 100 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 44,01 g/molP = 850 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 70 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 15 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Тепловий двигун отримує теплоту від джерела з температурою 400 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 30 °C. Його дійсний термічний ККД 30 %. Знайдіть його ексергетичний ККД (за другим законом) η_II — відношення дійсного ККД до ККД Карно.

T_H = 400 °CT_L = 30 °Cη = 30%

η_II = %

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 2100 kJ теплоти від резервуара з температурою 450 °C, виконує 987 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 25 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 450 °CT_L = 25 °CQ_H = 2100 kJW = 987 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2. На початку стиснення повітря має температуру 310 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 14r_c = 2T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 20. Повітря надходить у компресор при 310 K, а в турбіну — при 1400 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 310 KT₃ = 1400 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 86,5 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 420/16,04 = 26,18 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 26,18·8,314·278,1/700 = 86,5 L

Відповідь

V = 86,5 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 12,06 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Густина

ρ = 850·44,01/(8,314·373,1) = 12,06 kg/m³

Відповідь

ρ = 12,06 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 37,78 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·2,44·(150 − 70) = 97,6 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 97,6/(3·4,18) = 37,78 °C

Відповідь

t_out = 37,78 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 0,5119 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1·2,44·(140 − 80) = 146,4 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,05)·146,4 = 139,1 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 139,1/(4,18·65) = 0,5119 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 0,5119 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_II = 54,58 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

ККД Карно

η_Carnot = 1 − 303,1/673,1 = 54,97 %

ККД за другим законом

η_II = η/η_Carnot = 30/54,97 = 54,58 %

Відповідь

η_II = 54,58 %

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 0,8291 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 2100 − 987 = 1113 kJ

Абсолютні температури

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −2100/723,1 = −2,904 kJ/K

ΔS_L = 1113/298,1 = 3,733 kJ/K

S_gen = 3,733 − 2,904 = 0,8291 kJ/K

Відповідь

S_gen = 0,8291 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 895,3 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 310·14^0,4 = 890,9 K

T₃ = 2·890,9 = 1782 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(1782 − 890,9) = 895,3 kJ/kg

Відповідь

q_in = 895,3 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 387,5 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 310·20^0,2857 = 729,6 K

T₄ = 1400/20^0,2857 = 594,8 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(729,6 − 310) = 421,7 kJ/kg

w_t = 1,005·(1400 − 594,8) = 809,2 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 809,2 − 421,7 = 387,5 kJ/kg

Відповідь

w_net = 387,5 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 52,11%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1