Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу
pV = nRT
Газова стала
R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон
p1V1/T1 = p2V2/T2
Молі
n = m/M
Температура
T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота
Q = ṁ·cp·ΔT
Прихована теплота
Q = ṁ·hfg
Змішування
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Вода
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД
η = W/QH = 1 − QC/QH
ККД Карно
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP холодильника
COPR = QC/W
COP теплового насоса
COPHP = QH/W = COPR + 1
Енергетичний баланс
QH = W + QC

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів
T2/T1 = rk−1
Ізоентропний процес, відношення тисків
T2/T1 = rp(k−1)/k
ККД циклу Отто
η = 1 − 1/rk−1
ККД циклу Дизеля
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ККД циклу Брайтона
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Підведена теплота
Отто: cv(T3 − T2) Дизель, Брайтон: cp(T3 − T2)
Корисна робота циклу Брайтона
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Ізоентропні ККД
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Холодне повітря
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня
150 g (CH₄)P = 500 kPaT = 50 °CV = ?

Який об’єм V займає 150 g газу (CH₄) при 500 kPa і 50 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 150 gM = 16,04 g/molP = 500 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Рівняння стану ідеального газуСкладна
Стан 1Стан 2

Стала кількість газу (Ar) переходить від 400 kPa, 5 L, 15 °C до 750 kPa і 70 °C. Знайдіть новий об’єм V2.

P1 = 400 kPaV1 = 5 LT1 = 15 °CP2 = 750 kPaT2 = 70 °C
V2 = L
3.Енергетичний балансСередня
гаряча сторонахолодна сторонагліколева суміш · 120 °C60 °Cвода · 10 °Ct = ? °C

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході tout.

ṁh = 1 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.Енергетичний балансСкладна
гаряча сторонахолодна сторонаетанол · 170 °C70 °Cвода · 10 °C40 °C · ṁ = ?5% втрат

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁc.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 170 → 70 °Ct: 10 → 40 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %
ṁc = kg/s
5.Теплові машини й холодильникиСередня
TH​ = 900 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​η = 41%

Тепловий двигун отримує теплоту від джерела з температурою 900 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 35 °C. Його дійсний термічний ККД 41 %. Знайдіть його ексергетичний ККД (за другим законом) ηII — відношення дійсного ККД до ККД Карно.

TH = 900 °CTL = 35 °Cη = 41%
ηII = %
6.Теплові машини й холодильникиСкладна
700 °CTm​ = ?25 °CABWA​WB​

Два двигуни Карно працюють послідовно. Двигун A отримує теплоту від резервуара з температурою 700 °C і віддає теплоту проміжному резервуару з температурою Tm. Двигун B отримує всю цю теплоту й віддає теплоту резервуару з температурою 25 °C. Обидва двигуни мають однаковий термічний ККД. Знайдіть Tm в °C.

TH = 700 °CTL = 25 °C
Tm = °C
7.Газові цикли теплових двигунівСередня
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 22 і ступінь попереднього розширення rc = v₃/v₂ = 2,2. На початку стиснення повітря має температуру 310 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T3 в кінці підведення теплоти, у K.

r = 22rc = 2,2T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.Газові цикли теплових двигунівСкладна
vP1234qin​qout​

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 16. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1300 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу wnet на кілограм повітря, у kJ/kg.

rp = 16T1 = 288 KT3 = 1300 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 50,25 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 150/16,04 = 9,352 mol
T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 9,352·8,314·323,1/500 = 50,25 L

Відповідь

V = 50,25 L
2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V2 = 3,176 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P1V1/T1 = P2V2/T2.

Абсолютні температури

T1 = 288,1 K, T2 = 343,1 K

Об’єднаний газовий закон

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(400/750)·(343,1/288,1) = 3,176 L

Відповідь

V2 = 3,176 L
3.Енергетичний баланс

Відповідь: tout = 113,3 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1·3,6·(120 − 60) = 216 kW

Теплота, отримана водою

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 216/(0,5·4,18) = 113,3 °C

Відповідь

tout = 113,3 °C
4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁc = 3,697 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Qh = 2·2,44·(170 − 70) = 488 kW

Теплота, що доходить до води

Qc = (1 − 0,05)·488 = 463,6 kW

Витрата води

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 463,6/(4,18·30) = 3,697 kg/s

Відповідь

ṁc = 3,697 kg/s
5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: ηII = 55,61 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 900 + 273,15 = 1173 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

ККД Карно

ηCarnot = 1 − 308,1/1173 = 73,73 %

ККД за другим законом

ηII = η/ηCarnot = 41/73,73 = 55,61 %

Відповідь

ηII = 55,61 %
6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Tm = 265,5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 700 + 273,15 = 973,1 K
TL = 25 + 273,15 = 298,1 K

Однакові ККД

З 1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm маємо Tm² = TH·TL.

Tm = √(973,1·298,1) = 538,7 K = 265,5 °C

Відповідь

Tm = 265,5 °C
7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T3 = 2348 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Кінець стиснення

T2 = 310·220,4 = 1067 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T3 = rc·T2 = 2,2·1067 = 2348 K

Відповідь

T3 = 2348 K
8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: wnet = 365,1 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k і η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Корисна робота w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує ws/ηc, а турбіна дає ηt·ws.

Ізоентропні температури

T2 = 288·160,2857 = 636 K
T4 = 1300/160,2857 = 588,7 K

Робота компресора й турбіни

wc = 1,005·(636 − 288) = 349,7 kJ/kg
wt = 1,005·(1300 − 588,7) = 714,8 kJ/kg

Корисна робота

wnet = 714,8 − 349,7 = 365,1 kJ/kg

Відповідь

wnet = 365,1 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: wc/wt = 48,92%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1