Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу
pV = nRT
Газова стала
R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон
p1V1/T1 = p2V2/T2
Молі
n = m/M
Температура
T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота
Q = ṁ·cp·ΔT
Прихована теплота
Q = ṁ·hfg
Змішування
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Вода
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД
η = W/QH = 1 − QC/QH
ККД Карно
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP холодильника
COPR = QC/W
COP теплового насоса
COPHP = QH/W = COPR + 1
Енергетичний баланс
QH = W + QC

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів
T2/T1 = rk−1
Ізоентропний процес, відношення тисків
T2/T1 = rp(k−1)/k
ККД циклу Отто
η = 1 − 1/rk−1
ККД циклу Дизеля
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ККД циклу Брайтона
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Підведена теплота
Отто: cv(T3 − T2) Дизель, Брайтон: cp(T3 − T2)
Корисна робота циклу Брайтона
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Ізоентропні ККД
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Холодне повітря
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня
80 g (He)V = 20 LT = 40 °CP = ?

Резервуар об’ємом 20 L містить 80 g газу (He) при 40 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 80 gM = 4,003 g/molV = 20 LT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Рівняння стану ідеального газуСкладна
Стан 1Стан 2

Стала кількість газу (Ar) переходить від 100 kPa, 20 L, 15 °C до 650 kPa і 220 °C. Знайдіть новий об’єм V2.

P1 = 100 kPaV1 = 20 LT1 = 15 °CP2 = 650 kPaT2 = 220 °C
V2 = L
3.Енергетичний балансСередня
гаряча сторонахолодна стороналегка олива · 120 °C90 °Cвода · 15 °Ct = ? °C

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.Енергетичний балансСкладна
гаряча сторонахолодна сторонагліколева суміш · 120 °C90 °Cвода · 30 °C75 °C · ṁ = ?10% втрат

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁc.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 30 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %
ṁc = kg/s
5.Теплові машини й холодильникиСередня
TH​ = 225 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​W

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 225 °C і холодним при 30 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД ηmax.

TH = 225 °CTL = 30 °C
ηmax = %
6.Теплові машини й холодильникиСкладна
TH​ = 20 °CTL​ = 0 °CHPQ̇H​ = 4 kWQ̇L​Ẇ = ?

Тепловий насос підтримує в будинку 20 °C, коли надворі 0 °C, і подає в будинок 4 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇmin.

TH = 20 °CTL = 0 °CQ̇H = 4 kW
Ẇmin = kW
7.Газові цикли теплових двигунівСередня
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення rc = v₃/v₂ = 2. На початку стиснення повітря має температуру 290 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T3 в кінці підведення теплоти, у K.

r = 14rc = 2T1 = 290 Kk = 1,4
T3 = K
8.Газові цикли теплових двигунівСкладна
vP1234qin​qout​

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1100 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу wnet на кілограм повітря, у kJ/kg.

rp = 18T1 = 295 KT3 = 1100 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 2602 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 80/4,003 = 19,99 mol
T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Тиск

P = nRT/V = 19,99·8,314·313,1/0,02 = 2602 kPa

Відповідь

P = 2602 kPa
2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V2 = 5,266 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P1V1/T1 = P2V2/T2.

Абсолютні температури

T1 = 288,1 K, T2 = 493,1 K

Об’єднаний газовий закон

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(100/650)·(493,1/288,1) = 5,266 L

Відповідь

V2 = 5,266 L
3.Енергетичний баланс

Відповідь: tout = 17,51 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·2,1·(120 − 90) = 31,5 kW

Теплота, отримана водою

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 31,5/(3·4,18) = 17,51 °C

Відповідь

tout = 17,51 °C
4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁc = 0,7751 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Qh = 1,5·3,6·(120 − 90) = 162 kW

Теплота, що доходить до води

Qc = (1 − 0,1)·162 = 145,8 kW

Витрата води

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 145,8/(4,18·45) = 0,7751 kg/s

Відповідь

ṁc = 0,7751 kg/s
5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: ηmax = 39,14 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 225 + 273,15 = 498,1 K
TL = 30 + 273,15 = 303,1 K

ККД Карно

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 303,1/498,1 = 39,14 %

Відповідь

ηmax = 39,14 %
6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇmin = 0,2729 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.

Абсолютні температури

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = 0 + 273,15 = 273,1 K

Найкращий можливий COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293,1/(293,1 − 273,1) = 14,66

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇmin = Q̇H/COP = 4/14,66 = 0,2729 kW

Відповідь

Ẇmin = 0,2729 kW
7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T3 = 1667 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Кінець стиснення

T2 = 290·140,4 = 833,4 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T3 = rc·T2 = 2·833,4 = 1667 K

Відповідь

T3 = 1667 K
8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: wnet = 240,8 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k і η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Корисна робота w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує ws/ηc, а турбіна дає ηt·ws.

Ізоентропні температури

T2 = 295·180,2857 = 673,7 K
T4 = 1100/180,2857 = 481,7 K

Робота компресора й турбіни

wc = 1,005·(673,7 − 295) = 380,6 kJ/kg
wt = 1,005·(1100 − 481,7) = 621,4 kJ/kg

Корисна робота

wnet = 621,4 − 380,6 = 240,8 kJ/kg

Відповідь

wnet = 240,8 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: wc/wt = 61,25%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1