Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 20 g газу (Ar) при 400 kPa і 20 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 20 gM = 39,95 g/molP = 400 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (He) при 250 kPa і 130 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 4,003 g/molP = 250 kPaT = 130 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (легка олива) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 15 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері 5 °C, відводячи 8,5 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 28 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_H, який вона віддає.

T_L = 5 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 8,5 kW

Q̇_H = kW

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері 4 °C на кухні при 35 °C, відводячи з камери теплоту 1,5 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 35 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 1,5 kW

Ẇ_min = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 22 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2. На початку стиснення повітря має температуру 320 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 22r_c = 2T₁ = 320 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 8. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1100 K. Ізоентропний ККД компресора 80%, турбіни — 90%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 288 KT₃ = 1100 Kη_c = 80%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 3,05 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 20/39,95 = 0,5006 mol

T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 0,5006·8,314·293,1/400 = 3,05 L

Відповідь

V = 3,05 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 0,2986 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273,15 = 403,1 K

Густина

ρ = 250·4,003/(8,314·403,1) = 0,2986 kg/m³

Відповідь

ρ = 0,2986 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 68,76 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1,5·3,6·(140 − 110) = 162 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 162/(1·4,18) = 68,76 °C

Відповідь

t_out = 68,76 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 0,4406 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1·2,1·(140 − 80) = 126 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,05)·126 = 119,7 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 119,7/(4,18·65) = 0,4406 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 0,4406 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_H = 9,203 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 8,5·301,1/278,1 = 9,203 kW

Відповідь

Q̇_H = 9,203 kW

Споживана потужність: Ẇ = 0,7029 kW.

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,1678 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277,1/(308,1 − 277,1) = 8,94

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1,5/8,94 = 0,1678 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,1678 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 2204 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 320·22^0,4 = 1102 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 2·1102 = 2204 K

Відповідь

T₃ = 2204 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 152,1 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 288·8^0,2857 = 521,7 K

T_4s = 1100/8^0,2857 = 607,2 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(521,7 − 288)/0,8 = 293,6 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1100 − 607,2) = 445,7 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 445,7 − 293,6 = 152,1 kJ/kg

Відповідь

w_net = 152,1 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 65,87%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1