Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 80 g газу (CO₂) при 250 kPa і 35 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 80 gM = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (He) переходить від 100 kPa, 5 L, 25 °C до 150 kPa і 210 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 5 LT₁ = 25 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (легка олива) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 110 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Ct: 10 → 25 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 525 °C і холодним при 20 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 525 °CT_L = 20 °C

η_max = %

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері -18 °C на кухні при 28 °C, відводячи з камери теплоту 2,5 kW. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 28 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 2,5 kW

COP_max =

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 18 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 1,5. На початку стиснення повітря має температуру 310 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 18r_c = 1,5T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 15. Повітря надходить у компресор при 290 K, а в турбіну — при 1400 K. Ізоентропний ККД компресора 85%, турбіни — 92%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 290 KT₃ = 1400 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 18,63 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 80/44,01 = 1,818 mol

T = 35 + 273,15 = 308,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 1,818·8,314·308,1/250 = 18,63 L

Відповідь

V = 18,63 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 5,402 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 298,1 K, T₂ = 483,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(100/150)·(483,1/298,1) = 5,402 L

Відповідь

V₂ = 5,402 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 31,75 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1·2,1·(160 − 110) = 105 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 105/(1,5·4,18) = 31,75 °C

Відповідь

t_out = 31,75 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 6,201 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 3·3,6·(120 − 80) = 432 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·432 = 388,8 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 388,8/(4,18·15) = 6,201 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 6,201 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 63,27 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 525 + 273,15 = 798,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/798,1 = 63,27 %

Відповідь

η_max = 63,27 %

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 5,547

Абсолютні температури

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255,1/(301,1 − 255,1) = 5,547

Відповідь

COP_max = 5,547

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 1478 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 310·18^0,4 = 985,1 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·985,1 = 1478 K

Відповідь

T₃ = 1478 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 296,9 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 290·15^0,2857 = 628,7 K

T_4s = 1400/15^0,2857 = 645,8 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(628,7 − 290)/0,85 = 400,4 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1400 − 645,8) = 697,3 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 697,3 − 400,4 = 296,9 kJ/kg

Відповідь

w_net = 296,9 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 57,42%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1