Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 50 L містить 370 g газу (He) при 5 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 370 gM = 4,003 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (He) переходить від 150 kPa, 2 L, 20 °C до 500 kPa і 60 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 2 LT₁ = 20 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 5% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 60 °Ct: 25 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 700 kJ теплоти від резервуара з температурою 475 °C і віддає 279 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 475 °CQ_H = 700 kJQ_L = 279 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 20 °C, коли надворі -5 °C, і подає в будинок 12 kW теплоти. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 20 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,5. На початку стиснення повітря має температуру 290 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 14r_c = 2,5T₁ = 290 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 20. Повітря надходить у компресор при 310 K, а в турбіну — при 1300 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 4275 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 370/4,003 = 92,43 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Тиск

P = nRT/V = 92,43·8,314·278,1/0,05 = 4275 kPa

Відповідь

P = 4275 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 0,6819 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 293,1 K, T₂ = 333,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(150/500)·(333,1/293,1) = 0,6819 L

Відповідь

V₂ = 0,6819 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 33,35 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2·2,44·(120 − 60) = 292,8 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 292,8/(3·4,18) = 33,35 °C

Відповідь

t_out = 33,35 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 5,455 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 3·3,6·(160 − 60) = 1080 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,05)·1080 = 1026 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 1026/(4,18·45) = 5,455 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 5,455 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 25,04 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 475 + 273,15 = 748,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 748,1·279/700 = 298,2 K = 25,04 °C

Відповідь

T_L = 25,04 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 11,73

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293,1/(293,1 − 268,1) = 11,73

Відповідь

COP_max = 11,73

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 1256 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 290·14^0,4 = 833,4 K

T₃ = 2,5·833,4 = 2083 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(2083 − 833,4) = 1256 kJ/kg

Відповідь

q_in = 1256 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 329,7 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 310·20^0,2857 = 729,6 K

T₄ = 1300/20^0,2857 = 552,4 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(729,6 − 310) = 421,7 kJ/kg

w_t = 1,005·(1300 − 552,4) = 751,4 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 751,4 − 421,7 = 329,7 kJ/kg

Відповідь

w_net = 329,7 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 56,12%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1