Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 50 L містить 380 g газу (CH₄) при 15 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 380 gM = 16,04 g/molV = 50 LT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (O₂) переходить від 300 kPa, 2 L, 20 °C до 350 kPa і 150 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 20 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 120 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 70 °Ct: 25 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері -5 °C, відводячи 7 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 25 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_H, який вона віддає.

T_L = -5 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 7 kW

Q̇_H = kW

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 4100 kJ теплоти від резервуара з температурою 300 °C, виконує 1517 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 35 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 300 °CT_L = 35 °CQ_H = 4100 kJW = 1517 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2. На початку стиснення повітря має температуру 320 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту q_in на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 14r_c = 2T₁ = 320 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 18. Повітря надходить у компресор при 290 K, а в турбіну — при 1300 K. Ізоентропний ККД компресора 82%, турбіни — 88%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 18T₁ = 290 KT₃ = 1300 Kη_c = 82%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 1135 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 380/16,04 = 23,69 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Тиск

P = nRT/V = 23,69·8,314·288,1/0,05 = 1135 kPa

Відповідь

P = 1135 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 2,475 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 293,1 K, T₂ = 423,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/350)·(423,1/293,1) = 2,475 L

Відповідь

V₂ = 2,475 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 123,3 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 2·3,6·(150 − 120) = 216 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 216/(0,5·4,18) = 123,3 °C

Відповідь

t_out = 123,3 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,313 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1,5·2,44·(120 − 70) = 183 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·183 = 164,7 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 164,7/(4,18·30) = 1,313 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,313 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_H = 7,783 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 7·298,1/268,1 = 7,783 kW

Відповідь

Q̇_H = 7,783 kW

Споживана потужність: Ẇ = 0,7831 kW.

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 1,229 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 4100 − 1517 = 2583 kJ

Абсолютні температури

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −4100/573,1 = −7,153 kJ/K

ΔS_L = 2583/308,1 = 8,382 kJ/K

S_gen = 8,382 − 7,153 = 1,229 kJ/K

Відповідь

S_gen = 1,229 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: q_in = 924,2 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температури

T₂ = 320·14^0,4 = 919,6 K

T₃ = 2·919,6 = 1839 K

Теплота, підведена при сталому тиску

q_in = 1,005·(1839 − 919,6) = 924,2 kJ/kg

Відповідь

q_in = 924,2 kJ/kg

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 190 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 290·18^0,2857 = 662,3 K

T_4s = 1300/18^0,2857 = 569,2 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(662,3 − 290)/0,82 = 456,3 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1300 − 569,2) = 646,3 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 646,3 − 456,3 = 190 kJ/kg

Відповідь

w_net = 190 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 70,6%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1