Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 20 L містить 260 g газу (He) при 20 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 260 gM = 4,003 g/molV = 20 LT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (CH₄) переходить від 250 kPa, 5 L, 25 °C до 400 kPa і 70 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 5 LT₁ = 25 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 80 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (гліколева суміш) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 10% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 70 °Ct: 25 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 2500 kJ теплоти від резервуара з температурою 450 °C і віддає 996 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 450 °CQ_H = 2500 kJQ_L = 996 kJ

T_L = °C

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 21 °C, коли надворі 7 °C, і подає в будинок 5 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 21 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 5 kW

Ẇ_min = kW

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 14 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 2,2. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

r = 14r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 6. Повітря надходить у компресор при 300 K, а в турбіну — при 1100 K. Ізоентропний ККД компресора 88%, турбіни — 90%. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 300 KT₃ = 1100 Kη_c = 88%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 7915 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 260/4,003 = 64,95 mol

T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Тиск

P = nRT/V = 64,95·8,314·293,1/0,02 = 7915 kPa

Відповідь

P = 7915 kPa

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 3,597 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 298,1 K, T₂ = 343,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(250/400)·(343,1/298,1) = 3,597 L

Відповідь

V₂ = 3,597 L

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 41,53 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 0,5·3,6·(180 − 80) = 180 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 180/(2·4,18) = 41,53 °C

Відповідь

t_out = 41,53 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 4,228 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 3·3,6·(170 − 70) = 1080 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,1)·1080 = 972 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 972/(4,18·55) = 4,228 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 4,228 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 14,95 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 723,1·996/2500 = 288,1 K = 14,95 °C

Відповідь

T_L = 14,95 °C

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,238 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 280,1) = 21,01

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 5/21,01 = 0,238 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,238 kW

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: η = 58,25 %

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Член з попереднім розширенням

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Термічний ККД

η = 1 − 0,348·1,2 = 58,25%

Відповідь

η = 58,25%

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 169,6 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T_2s = 300·6^0,2857 = 500,6 K

T_4s = 1100/6^0,2857 = 659,3 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(500,6 − 300)/0,88 = 229 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1100 − 659,3) = 398,6 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 398,6 − 229 = 169,6 kJ/kg

Відповідь

w_net = 169,6 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 57,46%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1