Термодинаміка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Енергетичний баланс

Явна теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Прихована теплота: Q = ṁ·h_fg
Змішування: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Газові цикли теплових двигунів

Ізоентропний процес, відношення об’ємів: T₂/T₁ = r^k−1
Ізоентропний процес, відношення тисків: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ККД циклу Отто: η = 1 − 1/r^k−1
ККД циклу Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ККД циклу Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Підведена теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Корисна робота циклу Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Ізоентропні ККД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодне повітря: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Задачі для практики

1.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 290 g газу (N₂) при 600 kPa і 90 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 290 gM = 28,01 g/molP = 600 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (CO₂) при 100 kPa і 150 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 44,01 g/molP = 100 kPaT = 150 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Енергетичний балансСередня

Гарячий теплоносій (етанол) охолоджує воду в протитечійному теплообміннику без втрат тепла. Знайдіть температуру води на виході t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Енергетичний балансСкладна

Гарячий теплоносій (етанол) нагріває воду в теплообміннику, що втрачає в довкілля 15% теплоти, відданої гарячим потоком. Знайдіть потрібну витрату води ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 90 °Ct: 15 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)втрати = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері -25 °C, відводячи 3 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 25 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_H, який вона віддає.

T_L = -25 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 3 kW

Q̇_H = kW

6.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 1100 kJ теплоти від резервуара з температурою 500 °C, виконує 473 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 20 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 500 °CT_L = 20 °CQ_H = 1100 kJW = 473 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газові цикли теплових двигунівСередня

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 22 і ступінь попереднього розширення r_c = v₃/v₂ = 3. На початку стиснення повітря має температуру 295 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть температуру T₃ в кінці підведення теплоти, у K.

r = 22r_c = 3T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газові цикли теплових двигунівСкладна

Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 15. Повітря надходить у компресор при 295 K, а в турбіну — при 1100 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) і c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w_net на кілограм повітря, у kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 295 KT₃ = 1100 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Розчини

1.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 52,1 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 290/28,01 = 10,35 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 10,35·8,314·363,1/600 = 52,1 L

Відповідь

V = 52,1 L

2.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,251 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273,15 = 423,1 K

Густина

ρ = 100·44,01/(8,314·423,1) = 1,251 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,251 kg/m³

3.Енергетичний баланс

Відповідь: t_out = 21,67 °C

Енергетичний баланс теплообмінника: без втрат ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, віддана гарячим потоком

Q = 1·2,44·(130 − 90) = 97,6 kW

Теплота, отримана водою

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 97,6/(2·4,18) = 21,67 °C

Відповідь

t_out = 21,67 °C

4.Енергетичний баланс

Відповідь: ṁ_c = 1,191 kg/s

Енергетичний баланс із втратами: віддана теплота = отримана теплота + втрачена теплота.

Віддана теплота

Q_h = 1,5·2,44·(170 − 90) = 292,8 kW

Теплота, що доходить до води

Q_c = (1 − 0,15)·292,8 = 248,9 kW

Витрата води

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 248,9/(4,18·50) = 1,191 kg/s

Відповідь

ṁ_c = 1,191 kg/s

5.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_H = 3,604 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 3·298,1/248,1 = 3,604 kW

Відповідь

Q̇_H = 3,604 kW

Споживана потужність: Ẇ = 0,6045 kW.

6.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 0,7161 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 1100 − 473 = 627 kJ

Абсолютні температури

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −1100/773,1 = −1,423 kJ/K

ΔS_L = 627/293,1 = 2,139 kJ/K

S_gen = 2,139 − 1,423 = 0,7161 kJ/K

Відповідь

S_gen = 0,7161 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

7.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: T₃ = 3047 K

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Кінець стиснення

T₂ = 295·22^0,4 = 1016 K

Підведення теплоти при сталому тиску

T₃ = r_c·T₂ = 3·1016 = 3047 K

Відповідь

T₃ = 3047 K

8.Газові цикли теплових двигунів

Відповідь: w_net = 249,3 kJ/kg

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k і η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Корисна робота w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує w_s/η_c, а турбіна дає η_t·w_s.

Ізоентропні температури

T₂ = 295·15^0,2857 = 639,5 K

T₄ = 1100/15^0,2857 = 507,4 K

Робота компресора й турбіни

w_c = 1,005·(639,5 − 295) = 346,2 kJ/kg

w_t = 1,005·(1100 − 507,4) = 595,5 kJ/kg

Корисна робота

w_net = 595,5 − 346,2 = 249,3 kJ/kg

Відповідь

w_net = 249,3 kJ/kg

Коефіцієнт зворотної роботи: w_c/w_t = 58,14%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1