Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
L = 2,4 m

Довжина математичного маятника 2,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,4 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Пружини й маятникиСкладна
mk = 480 N/mA = 16 cmx = 9 cm

Вантаж на пружині з k = 480 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 16 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 9 cm від положення рівноваги.

k = 480 N/mA = 16 cmx = 9 cm
U = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
L = 0,5 mn = 2

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,5 м, хвилі поширюються зі швидкістю 240 м/с. Знайдіть частоту f2 для моди «гармоніка номер 2».

v = 240 m/sn = 2L = 0,5 m
f2 = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = 589 nmd = 0,1 mmL = 1,5 my = ?

Світло з довжиною хвилі 589 нм падає на дві щілини на відстані 0,1 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,5 м. Знайдіть відстань y3 від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 3.

λ = 589 nmd = 0,1 mmL = 1,5 mm = 3
y3 = mm

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,108 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,4/9,81) = 3,108 s

Відповідь

T = 3,108 s
2.Пружини й маятники

Відповідь: U = 1,944 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·480·0,16² = 6,144 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·480·0,09² = 1,944 J

Відповідь

U = 1,944 J
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f2 = 480 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,5/2 = 0,5 m

Частота

f = v/λ = 240/0,5 = 480 Hz

Відповідь

f2 = 480 Hz
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y3 = 26,5 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·1,5/(0,1 × 10⁻³) = 8,835 mm

Смуга номер 3

y3 = 3·8,835 = 26,5 mm

Відповідь

y3 = 26,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics