Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,6 kg на пружині з k = 300 N/m відтягують на 9 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,4 s (зі знаком).

m = 1,6 kgk = 300 N/mA = 9 cmt = 0,4 s

x = cm

2.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 0,8 s і амплітудою 19 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 19 cm до зміщення 7,6 cm?

T = 0,8 sA = 19 cmx = 7,6 cm

t = s

3.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 0,75 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 343 m/sn = 5L = 0,75 m

f₅ = Hz

4.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 405 нм падає під прямим кутом на ґратку з 100 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₁ максимуму порядку 1.

N = 100 mm⁻¹λ = 405 nmm = 1

θ₁ = °

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: x = 6,232 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(300/1,6) = 13,69 rad/s

ω·t = 13,69·0,4 = 5,477 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(5,477) = 6,232 cm

Відповідь

x = 6,232 cm

2.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,1476 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/0,8 = 7,854 rad/s

Виразіть час

0,4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,4) = 1,159 rad

t = 1,159/7,854 = 0,1476 s

Відповідь

t = 0,1476 s

3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 571,7 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·0,75/5 = 0,6 m

Частота

f = v/λ = 343/0,6 = 571,7 Hz

Відповідь

f₅ = 571,7 Hz

4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₁ = 2,321 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 1·405 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0,0405

θ = 2,321°

Відповідь

θ₁ = 2,321°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics