Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
1,1 kgk = 70 N/mA = 7 cmx = 3 cm

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 70 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 7 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.

m = 1,1 kgk = 70 N/mA = 7 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
3 kgk = 800 N/m300 m/s

Куля масою 10 g, що летить зі швидкістю 300 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 3 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 800 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 10 gv = 300 m/sM = 3 kgk = 800 N/m
A = cm
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
L = ?n = 4

Труба, відкрита з обох кінців: гармоніка номер 4 має становити 686 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 4f4 = 686 Hz
L = m
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
θa​ = ?n1​ = 1,55n2​ = 1,5n0​ = 1,00

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,55 і оболонку з n₂ = 1,5. Знайдіть найбільший кут θa до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n1 = 1,55n2 = 1,5n0 = 1,00
θa = °

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,5045 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(70/1,1) = 7,977 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 7,977·√(0,07² − 0,03²) = 0,5045 m/s

Відповідь

v = 0,5045 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: A = 6,114 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,01·300/3,01 = 0,9967 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(800/3,01) = 16,3 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,9967/16,3 = 0,06114 m = 6,114 cm

Відповідь

A = 6,114 cm
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 1 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/686 = 0,5 m

Довжина

L = nλ/2 = 4·0,5/2 = 1 m

Відповідь

L = 1 m
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θa = 22,99 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,5/1,55 = 0,9677 → θc = 75,41°

Числова апертура

NA = √(1,55² − 1,5²) = 0,3905

Кут прийому

θa = arcsin(0,3905) = 22,99°

Відповідь

θa = 22,99°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics