Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Вантаж масою 3,2 kg на пружині з k = 130 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 19 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 6 cm від положення рівноваги.
m = 3,2 kgk = 130 N/mA = 19 cmx = 6 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж масою 3,2 kg на пружині з k = 250 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.
m = 3,2 kgk = 250 N/mA = 18 cm
E = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Мала гучномовна колонка випромінює звукову потужність 5 Вт однаково в усіх напрямках. Знайдіть рівень інтенсивності звуку β на відстані 2 м.
P = 5 Wr = 2 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Дифракційна ґратка має 300 ліній на міліметр. Світло з довжиною хвилі 600 нм падає на неї під прямим кутом. Який найвищий порядок mmax світлого максимуму можна побачити?
N = 300 mm⁻¹λ = 600 nm
mmax =
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: v = 1,149 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(130/3,2) = 6,374 rad/s
Швидкість у точці x
v = ω·√(A² − x²) = 6,374·√(0,19² − 0,06²) = 1,149 m/s
Відповідь
v = 1,149 m/s
2.Пружини й маятники
Відповідь: E = 4,05 J
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(250/3,2) = 8,839 rad/s
Енергія
E = ½·k·A² = ½·250·0,18² = 4,05 J
Відповідь
E = 4,05 J
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: β = 110 dB
Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).
Інтенсивність
I = P/(4πr²) = 0,09947 W/m²
Рівень
β = 10·log₁₀(0,09947/10⁻¹²) = 110 dB
Відповідь
β = 110 dB
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: mmax = 5
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Відстань між лініями
d = 1/300 mm = 3,333 µm
Найвищий порядок
m ≤ d/λ = 3,333 µm/0,6 µm = 5,556 → mmax = 5
Відповідь
mmax = 5
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics