Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Довжина математичного маятника 1,6 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.
L = 1,6 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Пружини й маятникиСкладна
Куля масою 8 g, що летить зі швидкістю 300 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 700 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.
m = 8 gv = 300 m/sM = 2 kgk = 700 N/m
A = cm
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Світло поширюється в середовищі «етанол» (n = 1,36) до плоскої межі із середовищем «вода» (n = 1,33). Знайдіть критичний кут θc, за яким воно повністю відбивається.
n1 = 1,36n2 = 1,33
θc = °
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Світло з довжиною хвилі 650 нм падає на дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,2 м. Знайдіть відстань y2 від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 2.
λ = 650 nmd = 0,2 mmL = 1,2 mm = 2
y2 = mm
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: T = 2,537 s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Період маятника
T = 2π·√(1,6/9,81) = 2,537 s
Відповідь
T = 2,537 s
2.Пружини й маятники
Відповідь: A = 6,401 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Швидкість після удару
V = m·v/(m + M) = 0,008·300/2,008 = 1,195 m/s
Кутова частота
ω = √(k/(m + M)) = √(700/2,008) = 18,67 rad/s
Амплітуда
A = V/ω = 1,195/18,67 = 0,06401 m = 6,401 cm
Відповідь
A = 6,401 cm
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: θc = 77,94 °
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Заломлення на 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,36 = 0,9779
Критичний кут
θc = arcsin(0,9779) = 77,94°
Відповідь
θc = 77,94°
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: y2 = 7,8 mm
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Відстань між смугами
Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1,2/(0,2 × 10⁻³) = 3,9 mm
Смуга номер 2
y2 = 2·3,9 = 7,8 mm
Відповідь
y2 = 7,8 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics