Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 0,7 m має період 1,77 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.
L = 0,7 mT = 1,77 s
g = m/s²
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж на пружині з k = 490 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 13 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 10 cm від положення рівноваги.
k = 490 N/mA = 13 cmx = 10 cm
U = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Предмет стоїть на відстані 25 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть відстань до зображення di. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 для розсіювальної лінзи, di < 0 для уявного зображення).
do = 25 cmf = −15 cm
di = cm
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,52 і оболонку з n₂ = 1,5. Знайдіть його числову апертуру NA.
n1 = 1,52n2 = 1,5
NA =
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: g = 8,821 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Знайдіть g
g = 4π²·L/T² = 4π²·0,7/1,77² = 8,821 m/s²
Відповідь
g = 8,821 m/s²
2.Пружини й маятники
Відповідь: U = 2,45 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Повна енергія
E = ½·k·A² = ½·490·0,13² = 4,141 J
Енергія пружини в точці x
U = ½·k·x² = ½·490·0,1² = 2,45 J
Відповідь
U = 2,45 J
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: di = −9,375 cm
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Рівняння тонкої лінзи
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−15) − 1/25
di = −9,375 cm
Хід променів
уявне, з того самого боку, що й предмет
Відповідь
di = −9,375 cm
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: NA = 0,2458
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Критичний кут на оболонці
sin θc = 1,5/1,52 = 0,9868 → θc = 80,7°
Числова апертура
NA = √(1,52² − 1,5²) = 0,2458
Відповідь
NA = 0,2458
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics