Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
1,9 kgk = 490 N/mA = 14 cmx = 3 cm

Вантаж масою 1,9 kg на пружині з k = 490 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 14 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.

m = 1,9 kgk = 490 N/mA = 14 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
mk = 40 N/mA = 17 cmx = 4 cm

Вантаж на пружині з k = 40 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 17 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 4 cm від положення рівноваги.

k = 40 N/mA = 17 cmx = 4 cm
U = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
S34 m/sOf = 300 Hz

Джерело частотою 300 Гц рухається зі швидкістю 34 м/с до нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 300 Hzv = 343 m/svs = 34 m/s
f′ = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = ?46,1°

Ґратка з 800 лініями на міліметр показує максимум порядку 2 спектральної лінії під кутом 46,1° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 800 mm⁻¹θ2 = 46,1°m = 2
λ = nm

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 2,196 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(490/1,9) = 16,06 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 16,06·√(0,14² − 0,03²) = 2,196 m/s

Відповідь

v = 2,196 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,032 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·40·0,17² = 0,578 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·40·0,04² = 0,032 J

Відповідь

U = 0,032 J
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 333 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 300·(343 + 0)/(343 − 34)
f′ = 333 Hz

Відповідь

f′ = 333 Hz
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 450,3 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 1,25 × 10⁻⁶·sin 46,1°/2 = 450,3 nm

Відповідь

λ = 450,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics