Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
1,1 kgk = 440 N/mA = 19 cmx = 15 cm

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 440 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 19 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 15 cm від положення рівноваги.

m = 1,1 kgk = 440 N/mA = 19 cmx = 15 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
mk = 370 N/mA = 20 cmx = 11 cm

Вантаж на пружині з k = 370 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 20 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 11 cm від положення рівноваги.

k = 370 N/mA = 20 cmx = 11 cm
K = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
S30 m/sO15 m/sf = 440 Hz

Джерело частотою 440 Гц, що рухається зі швидкістю 30 м/с, і спостерігач, що рухається зі швидкістю 15 м/с, наближаються один до одного. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 440 Hzv = 343 m/svs = 30 m/svo = 15 m/s
f′ = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Fdo​ = 12 cmR = 30 cm

Предмет розташований на відстані 12 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 30 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

do = 12 cmR = 30 cm
m =

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 2,332 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(440/1,1) = 20 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 20·√(0,19² − 0,15²) = 2,332 m/s

Відповідь

v = 2,332 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: K = 5,162 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·370·0,2² = 7,4 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·370·0,11² = 2,239 J

Кінетична енергія

K = 7,4 − 2,239 = 5,162 J

Відповідь

K = 5,162 J
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 503,3 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 440·(343 + 15)/(343 − 30)
f′ = 503,3 Hz

Відповідь

f′ = 503,3 Hz
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 5

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 15 cm

Рівняння дзеркала

1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/12
di = −60 cm
F12 cmf = 15 cm

Збільшення

m = −(−60)/12 = 5

Відповідь

m = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics