Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,5 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.
T = 1,5 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж масою 2,6 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 4 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.
m = 2,6 kgk = 80 N/mA = 4 cm
vmax = m/s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Джерело частотою 1200 Гц, що рухається зі швидкістю 15 м/с, і спостерігач, що рухається зі швидкістю 20 м/с, віддаляються один від одного. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.
f = 1200 Hzv = 343 m/svs = 15 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Світло з довжиною хвилі 405 нм падає під прямим кутом на ґратку з 200 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ1 максимуму порядку 1.
N = 200 mm⁻¹λ = 405 nmm = 1
θ1 = °
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: L = 0,5591 m
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Виразіть довжину
L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,5/2π)² = 0,5591 m
Відповідь
L = 0,5591 m
2.Пружини й маятники
Відповідь: vmax = 0,2219 m/s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(80/2,6) = 5,547 rad/s
Найбільша швидкість
vmax = A·ω = 0,04·5,547 = 0,2219 m/s
Відповідь
vmax = 0,2219 m/s
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: f′ = 1083 Hz
Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.
Формула Доплера
f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 1200·(343 − 20)/(343 + 15)
f′ = 1083 Hz
Відповідь
f′ = 1083 Hz
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: θ1 = 4,646 °
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Відстань між лініями
d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m
Рівняння ґратки
sin θ = mλ/d = 1·405 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,081
θ = 4,646°
Відповідь
θ1 = 4,646°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics