Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
L = ?

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,1 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,1 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружини й маятникиСкладна
2,5 kgk = 1500 N/m100 m/s

Куля масою 8 g, що летить зі швидкістю 100 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1500 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 8 gv = 100 m/sM = 2,5 kgk = 1500 N/m
A = cm
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
L = ?n = 1

Струна, закріплена з обох кінців: основна частота (перша гармоніка) має становити 50 Гц; хвилі поширюються зі швидкістю 150 м/с. Знайдіть довжину L.

v = 150 m/sn = 1f1 = 50 Hz
L = m
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
SO30 m/sf = 30 kHz

Датчик у стані спокою посилає ультразвук 30 кГц до автомобіля, що віддаляється зі швидкістю 30 м/с, і змішує відлуння з випроміненим сигналом. Знайдіть частоту биття fb (швидкість звуку 343 м/с).

f = 30 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,096 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m

Відповідь

L = 1,096 m
2.Пружини й маятники

Відповідь: A = 1,304 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,008·100/2,508 = 0,319 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/2,508) = 24,46 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,319/24,46 = 0,01304 m = 1,304 cm

Відповідь

A = 1,304 cm
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 1,5 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 150/50 = 3 m

Довжина

L = nλ/2 = 1·3/2 = 1,5 m

Відповідь

L = 1,5 m
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: fb = 4826 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Частота біля автомобіля

f′ = 30000·(343 − 30)/343 = 27376 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 + 30) = 25174 Hz

Частота биття

fb = |f″ − f| = 4826 Hz

Відповідь

fb = 4826 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics