Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
0,3 kgk = 90 N/mA = 11 cmx = 8 cm

Вантаж масою 0,3 kg на пружині з k = 90 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 11 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 8 cm від положення рівноваги.

m = 0,3 kgk = 90 N/mA = 11 cmx = 8 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
1 kgk = 140 N/m

Вантаж масою 1 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 140 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільше видовження xmax пружини в cm.

m = 1 kgk = 140 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
90 dB?1 m5 m

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 90 дБ на відстані 1 м від нього. Знайдіть рівень β2 на відстані 5 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β1 = 90 dBr1 = 1 mr2 = 5 m
β2 = dB
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = ?d = 0,1 mmL = 3 m40,5 mm

Дві щілини на відстані 0,1 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 3 м світла смуга номер 3 лежить на 40,5 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.

d = 0,1 mmL = 3 my3 = 40,5 mmm = 3
λ = nm

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,308 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(90/0,3) = 17,32 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 17,32·√(0,11² − 0,08²) = 1,308 m/s

Відповідь

v = 1,308 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: xmax = 14,01 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1·9,81/140 = 0,07007 m = A

Найнижча точка

xmax = 2A = 0,1401 m = 14,01 cm

Відповідь

xmax = 14,01 cm
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β2 = 76,02 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (1/5)² = 0,04

Новий рівень

β₂ = 90 + 10·log₁₀(0,04) = 76,02 dB

Відповідь

β2 = 76,02 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 450 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = y·d/(mL) = 0,0405·0,0001/(3·3) = 4,5 × 10⁻⁷ m = 450 nm

Відповідь

λ = 450 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics