Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,7 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.
T = 2,7 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж на пружині з k = 130 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 9 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 2 cm від положення рівноваги.
k = 130 N/mA = 9 cmx = 2 cm
U = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 95 дБ на відстані 1 м від нього. Знайдіть рівень β2 на відстані 8 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.
β1 = 95 dBr1 = 1 mr2 = 8 m
β2 = dB
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 35 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 5 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).
f = 35 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: L = 1,811 m
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Виразіть довжину
L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,7/2π)² = 1,811 m
Відповідь
L = 1,811 m
2.Пружини й маятники
Відповідь: U = 0,026 J
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Повна енергія
E = ½·k·A² = ½·130·0,09² = 0,5265 J
Енергія пружини в точці x
U = ½·k·x² = ½·130·0,02² = 0,026 J
Відповідь
U = 0,026 J
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: β2 = 76,94 dB
Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).
Відношення інтенсивностей
I₂/I₁ = (1/8)² = 0,01563
Новий рівень
β₂ = 95 + 10·log₁₀(0,01563) = 76,94 dB
Відповідь
β2 = 76,94 dB
Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: f″ = 36036 Hz
Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.
Частота біля автомобіля
f′ = 35000·(343 + 5)/343 = 35510 Hz
Частота відлуння
f″ = f′·343/(343 − 5) = 36036 Hz
Відповідь
f″ = 36036 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics