Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Вантаж масою 1,5 kg на пружині з k = 140 N/m відтягують на 10 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1 s (зі знаком).
m = 1,5 kgk = 140 N/mA = 10 cmt = 1 s
x = cm
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж масою 1 kg на пружині з k = 360 N/m відтягують на 19 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.
m = 1 kgk = 360 N/mA = 19 cm
vmax = m/s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Світло поширюється в середовищі «гліцерин» (n = 1,47) до плоскої межі із середовищем «повітря» (n = 1,00). Знайдіть критичний кут θc, за яким воно повністю відбивається.
n1 = 1,47n2 = 1,00
θc = °
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Світло з довжиною хвилі 450 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,2 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 2,5 м (між першими темними смугами з обох боків).
λ = 450 nma = 0,2 mmL = 2,5 m
w = mm
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: x = −9,722 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(140/1,5) = 9,661 rad/s
ω·t = 9,661·1 = 9,661 rad
Переміщення
x = A·cos(ω·t) = 10·cos(9,661) = −9,722 cm
Відповідь
x = −9,722 cm
2.Пружини й маятники
Відповідь: vmax = 3,605 m/s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(360/1) = 18,97 rad/s
Найбільша швидкість
vmax = A·ω = 0,19·18,97 = 3,605 m/s
Відповідь
vmax = 3,605 m/s
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: θc = 42,86 °
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Заломлення на 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,47 = 0,6803
Критичний кут
θc = arcsin(0,6803) = 42,86°
Відповідь
θc = 42,86°
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: w = 11,25 mm
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Перша темна смуга
y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·2,5/(0,2 × 10⁻³) = 5,625 mm
Ширина центрального максимуму
w = 2y₁ = 11,25 mm
Відповідь
w = 11,25 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics