Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1 kg на пружині з k = 100 N/m відтягують на 4 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1 s (зі знаком).

m = 1 kgk = 100 N/mA = 4 cmt = 1 s

x = cm

2.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 500 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 9 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 8 cm від положення рівноваги.

k = 500 N/mA = 9 cmx = 8 cm

U = J

3.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 50 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 10 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 50 cmf = 10 cm

m =

4.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм падає на дві щілини на відстані 0,5 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1 м. Знайдіть відстань y₃ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 3.

λ = 550 nmd = 0,5 mmL = 1 mm = 3

y₃ = mm

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: x = −3,356 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(100/1) = 10 rad/s

ω·t = 10·1 = 10 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(10) = −3,356 cm

Відповідь

x = −3,356 cm

2.Пружини й маятники

Відповідь: U = 1,6 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·500·0,09² = 2,025 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·500·0,08² = 1,6 J

Відповідь

U = 1,6 J

3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,25

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/50

d_i = 12,5 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −12,5/50 = −0,25

Відповідь

m = −0,25

4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₃ = 3,3 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1/(0,5 × 10⁻³) = 1,1 mm

Смуга номер 3

y₃ = 3·1,1 = 3,3 mm

Відповідь

y₃ = 3,3 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics