Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
0,9 kgk = 330 N/mA = 5 cmx = 2 cm

Вантаж масою 0,9 kg на пружині з k = 330 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 5 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

m = 0,9 kgk = 330 N/mA = 5 cmx = 2 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
t (s)x (cm)t = ?3,5

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 2,2 s і амплітудою 14 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 14 cm до зміщення 3,5 cm?

T = 2,2 sA = 14 cmx = 3,5 cm
t = s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
L = 0,4 mn = 4

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,4 м, хвилі поширюються зі швидкістю 200 м/с. Знайдіть частоту f4 для моди «гармоніка номер 4».

v = 200 m/sn = 4L = 0,4 m
f4 = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = 650 nma = 0,05 mm

Світло з довжиною хвилі 650 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,05 мм. Знайдіть кут θ3 темної смуги номер 3 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 650 nma = 0,05 mmm = 3
θ3 = °

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,8775 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(330/0,9) = 19,15 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 19,15·√(0,05² − 0,02²) = 0,8775 m/s

Відповідь

v = 0,8775 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,4615 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/2,2 = 2,856 rad/s

Виразіть час

0,25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,25) = 1,318 rad
t = 1,318/2,856 = 0,4615 s

Відповідь

t = 0,4615 s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f4 = 1000 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,4/4 = 0,2 m

Частота

f = v/λ = 200/0,2 = 1000 Hz

Відповідь

f4 = 1000 Hz
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ3 = 2,235 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,039
θ = 2,235°

Відповідь

θ3 = 2,235°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics