Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
t (s)x (cm)1,15 s

Вантаж масою 3 kg на пружині з k = 170 N/m відтягують на 3 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,15 s (зі знаком).

m = 3 kgk = 170 N/mA = 3 cmt = 1,15 s
x = cm
2.Пружини й маятникиСкладна
t (s)x (cm)t = ?6

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,9 s і амплітудою 15 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 6 cm?

T = 1,9 sA = 15 cmx = 6 cm
t = s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
SO20 m/sf = 1000 Hz

Спостерігач рухається зі швидкістю 20 м/с до нерухомого джерела частотою 1000 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 1000 Hzv = 343 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = 600 nma = 0,1 mm

Світло з довжиною хвилі 600 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,1 мм. Знайдіть кут θ2 темної смуги номер 2 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 600 nma = 0,1 mmm = 2
θ2 = °

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: x = −2,158 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(170/3) = 7,528 rad/s
ω·t = 7,528·1,15 = 8,657 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(8,657) = −2,158 cm

Відповідь

x = −2,158 cm
2.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,1244 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,9 = 3,307 rad/s

Виразіть час

0,4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,4) = 0,4115 rad
t = 0,4115/3,307 = 0,1244 s

Відповідь

t = 0,1244 s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 1058 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 1000·(343 + 20)/(343 − 0)
f′ = 1058 Hz

Відповідь

f′ = 1058 Hz
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ2 = 0,6876 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,012
θ = 0,6876°

Відповідь

θ2 = 0,6876°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics