Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
L = 0,8 mT = 1,89 s

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 0,8 m має період 1,89 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 0,8 mT = 1,89 s
g = m/s²
2.Пружини й маятникиСкладна
2,9 kgk = 390 N/mA = 7 cm

Вантаж масою 2,9 kg на пружині з k = 390 N/m відтягують на 7 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.

m = 2,9 kgk = 390 N/mA = 7 cm
vmax = m/s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
L = 0,4 mn = 5

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,4 м, хвилі поширюються зі швидкістю 180 м/с. Знайдіть частоту f5 для моди «гармоніка номер 5».

v = 180 m/sn = 5L = 0,4 m
f5 = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = 532 nmd = 0,5 mmL = 2 my = ?

Світло з довжиною хвилі 532 нм падає на дві щілини на відстані 0,5 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2 м. Знайдіть відстань y1 від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 1.

λ = 532 nmd = 0,5 mmL = 2 mm = 1
y1 = mm

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: g = 8,842 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/1,89² = 8,842 m/s²

Відповідь

g = 8,842 m/s²
2.Пружини й маятники

Відповідь: vmax = 0,8118 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(390/2,9) = 11,6 rad/s

Найбільша швидкість

vmax = A·ω = 0,07·11,6 = 0,8118 m/s

Відповідь

vmax = 0,8118 m/s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f5 = 1125 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,4/5 = 0,16 m

Частота

f = v/λ = 180/0,16 = 1125 Hz

Відповідь

f5 = 1125 Hz
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y1 = 2,128 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2/(0,5 × 10⁻³) = 2,128 mm

Смуга номер 1

y1 = 1·2,128 = 2,128 mm

Відповідь

y1 = 2,128 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics