Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,4 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 7 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 0,6 s (зі знаком).

m = 3,4 kgk = 80 N/mA = 7 cmt = 0,6 s

v = m/s

2.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 5 g, що летить зі швидкістю 150 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 3 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 300 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 5 gv = 150 m/sM = 3 kgk = 300 N/m

A = cm

3.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 1200 Гц рухається зі швидкістю 25 м/с до нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

4.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 1,2 м світла смуга номер 1 лежить на 3,6 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.

d = 0,2 mmL = 1,2 my₁ = 3,6 mmm = 1

λ = nm

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = −0,07779 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(80/3,4) = 4,851 rad/s

ω·t = 4,851·0,6 = 2,91 rad

Швидкість

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,07·4,851·sin(2,91) = −0,07779 m/s

Відповідь

v = −0,07779 m/s

2.Пружини й маятники

Відповідь: A = 2,498 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,005·150/3,005 = 0,2496 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(300/3,005) = 9,992 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,2496/9,992 = 0,02498 m = 2,498 cm

Відповідь

A = 2,498 cm

3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 1294 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1200·(343 + 0)/(343 − 25)

f′ = 1294 Hz

Відповідь

f′ = 1294 Hz

4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 600 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = y·d/(mL) = 0,0036·0,0002/(1·1,2) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm

Відповідь

λ = 600 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics