Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
t (s)x (cm)1,25 s

Вантаж масою 2,6 kg на пружині з k = 390 N/m відтягують на 3 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,25 s (зі знаком).

m = 2,6 kgk = 390 N/mA = 3 cmt = 1,25 s
x = cm
2.Пружини й маятникиСкладна
3 kgk = 470 N/mA = 18 cm

Вантаж масою 3 kg на пружині з k = 470 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.

m = 3 kgk = 470 N/mA = 18 cm
vmax = m/s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
FFdo​ = 60 cmf = 15 cm

Предмет стоїть на відстані 60 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

do = 60 cmf = 15 cm
m =
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
SO5 m/sf = 40 kHz

Датчик у стані спокою посилає ультразвук 40 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 5 м/с, і змішує відлуння з випроміненим сигналом. Знайдіть частоту биття fb (швидкість звуку 343 м/с).

f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: x = −2,765 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(390/2,6) = 12,25 rad/s
ω·t = 12,25·1,25 = 15,31 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(15,31) = −2,765 cm

Відповідь

x = −2,765 cm
2.Пружини й маятники

Відповідь: vmax = 2,253 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(470/3) = 12,52 rad/s

Найбільша швидкість

vmax = A·ω = 0,18·12,52 = 2,253 m/s

Відповідь

vmax = 2,253 m/s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,3333

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/60
di = 20 cm
FF60 cmf = 15 cm

Збільшення

m = −di/do = −20/60 = −0,3333

Відповідь

m = −0,3333
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: fb = 1183 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Частота біля автомобіля

f′ = 40000·(343 + 5)/343 = 40583 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 5) = 41183 Hz

Частота биття

fb = |f″ − f| = 1183 Hz

Відповідь

fb = 1183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics