Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
2,5 kgk = 210 N/mA = 4 cmx = 2 cm

Вантаж масою 2,5 kg на пружині з k = 210 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 4 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

m = 2,5 kgk = 210 N/mA = 4 cmx = 2 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
t (s)x (cm)t = ?1,5

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,2 s і амплітудою 5 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 5 cm до зміщення 1,5 cm?

T = 1,2 sA = 5 cmx = 1,5 cm
t = s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
FF2 cmdo​ = 10 cmf = 15 cm

Предмет заввишки 2 см стоїть на відстані 10 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть висоту зображення hi (від’ємну для перевернутого зображення).

ho = 2 cmdo = 10 cmf = 15 cm
hi = cm
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = 656 nmθ2​ = ?

Світло з довжиною хвилі 656 нм падає під прямим кутом на ґратку з 600 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ2 максимуму порядку 2.

N = 600 mm⁻¹λ = 656 nmm = 2
θ2 = °

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,3175 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(210/2,5) = 9,165 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 9,165·√(0,04² − 0,02²) = 0,3175 m/s

Відповідь

v = 0,3175 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,2418 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,2 = 5,236 rad/s

Виразіть час

0,3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,3) = 1,266 rad
t = 1,266/5,236 = 0,2418 s

Відповідь

t = 0,2418 s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: hi = 6 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/10
di = −30 cm
FF10 cmf = 15 cm

Збільшення і висота

m = −(−30)/10 = 3
hi = 3·2 = 6 cm

Відповідь

hi = 6 cm
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ2 = 51,92 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/600 mm = 1,667 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 2·656 × 10⁻⁹/(1,667 × 10⁻⁶) = 0,7872
θ = 51,92°

Відповідь

θ2 = 51,92°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics