Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Вантаж масою 2,4 kg на пружині з k = 390 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 5 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.
m = 2,4 kgk = 390 N/mA = 5 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж масою 3,7 kg на пружині з k = 270 N/m відтягують на 8 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.
m = 3,7 kgk = 270 N/mA = 8 cm
E = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 65 дБ на відстані 2 м від нього. Знайдіть рівень β2 на відстані 8 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.
β1 = 65 dBr1 = 2 mr2 = 8 m
β2 = dB
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Світло з довжиною хвилі 633 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,15 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 2 м (між першими темними смугами з обох боків).
λ = 633 nma = 0,15 mmL = 2 m
w = mm
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: v = 0,5099 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(390/2,4) = 12,75 rad/s
Швидкість у точці x
v = ω·√(A² − x²) = 12,75·√(0,05² − 0,03²) = 0,5099 m/s
Відповідь
v = 0,5099 m/s
2.Пружини й маятники
Відповідь: E = 0,864 J
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(270/3,7) = 8,542 rad/s
Енергія
E = ½·k·A² = ½·270·0,08² = 0,864 J
Відповідь
E = 0,864 J
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: β2 = 52,96 dB
Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).
Відношення інтенсивностей
I₂/I₁ = (2/8)² = 0,0625
Новий рівень
β₂ = 65 + 10·log₁₀(0,0625) = 52,96 dB
Відповідь
β2 = 52,96 dB
Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: w = 16,88 mm
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Перша темна смуга
y₁ = λL/a = 633 × 10⁻⁹·2/(0,15 × 10⁻³) = 8,44 mm
Ширина центрального максимуму
w = 2y₁ = 16,88 mm
Відповідь
w = 16,88 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics