Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
L = ?

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 0,9 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружини й маятникиСкладна
1,2 kgk = 400 N/mA = 17 cm

Вантаж масою 1,2 kg на пружині з k = 400 N/m відтягують на 17 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення amax.

m = 1,2 kgk = 400 N/mA = 17 cm
amax = m/s²
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
75 dB?5 m15 m

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 75 дБ на відстані 5 м від нього. Знайдіть рівень β2 на відстані 15 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β1 = 75 dBr1 = 5 mr2 = 15 m
β2 = dB
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
λ = 405 nmθ

Дифракційна ґратка має 800 ліній на міліметр. Світло з довжиною хвилі 405 нм падає на неї під прямим кутом. Який найвищий порядок mmax світлого максимуму можна побачити?

N = 800 mm⁻¹λ = 405 nm
mmax =

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,2013 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Відповідь

L = 0,2013 m
2.Пружини й маятники

Відповідь: amax = 56,67 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(400/1,2) = 18,26 rad/s

Найбільше прискорення

amax = A·ω² = 0,17·18,26² = 56,67 m/s²

Відповідь

amax = 56,67 m/s²
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β2 = 65,46 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (5/15)² = 0,1111

Новий рівень

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0,1111) = 65,46 dB

Відповідь

β2 = 65,46 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: mmax = 3

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/800 mm = 1,25 µm

Найвищий порядок

m ≤ d/λ = 1,25 µm/0,405 µm = 3,086 → mmax = 3

Відповідь

mmax = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics