Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Вантаж масою 1,2 kg на пружині з k = 110 N/m відтягують на 5 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,4 s (зі знаком).
m = 1,2 kgk = 110 N/mA = 5 cmt = 1,4 s
x = cm
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж масою 2,7 kg на пружині з k = 330 N/m відтягують на 16 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.
m = 2,7 kgk = 330 N/mA = 16 cm
vmax = m/s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «вода» (n = 1,33). Знайдіть критичний кут θc, за яким воно повністю відбивається.
n1 = 2,42n2 = 1,33
θc = °
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Світло з довжиною хвилі 532 нм падає на дві щілини на відстані 0,3 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2 м. Знайдіть відстань y1 від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 1.
λ = 532 nmd = 0,3 mmL = 2 mm = 1
y1 = mm
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: x = 3,346 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(110/1,2) = 9,574 rad/s
ω·t = 9,574·1,4 = 13,4 rad
Переміщення
x = A·cos(ω·t) = 5·cos(13,4) = 3,346 cm
Відповідь
x = 3,346 cm
2.Пружини й маятники
Відповідь: vmax = 1,769 m/s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Кутова частота
ω = √(330/2,7) = 11,06 rad/s
Найбільша швидкість
vmax = A·ω = 0,16·11,06 = 1,769 m/s
Відповідь
vmax = 1,769 m/s
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: θc = 33,34 °
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Заломлення на 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,33/2,42 = 0,5496
Критичний кут
θc = arcsin(0,5496) = 33,34°
Відповідь
θc = 33,34°
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: y1 = 3,547 mm
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Відстань між смугами
Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2/(0,3 × 10⁻³) = 3,547 mm
Смуга номер 1
y1 = 1·3,547 = 3,547 mm
Відповідь
y1 = 3,547 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics