Пружини й маятники
- Вантаж на пружині
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Кутова частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Найбільші швидкість і прискорення
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Енергія
- E = ½·k·A²
Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Хвилі, звук і оптика
- Швидкість хвилі
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Рівень звуку
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точкове джерело
- I = P/(4πr²)
- Стоячі хвилі
- струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
- Ефект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показник заломлення
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеліуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критичний кут
- sin θc = n2/n1
- Оптичне волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Лінзи та дзеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Подвійна щілина
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Ґратка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одна щілина
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
- Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
- Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
2Задачі для практики
1.Пружини й маятникиСередня
Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,5 m має період 4 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.
L = 1,5 mT = 4 s
g = m/s²
2.Пружини й маятникиСкладна
Вантаж на пружині з k = 400 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 5 cm від положення рівноваги.
k = 400 N/mA = 8 cmx = 5 cm
U = J
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,5 м, хвилі поширюються зі швидкістю 80 м/с. Знайдіть частоту f1 для моди «основна частота (перша гармоніка)».
v = 80 m/sn = 1L = 0,5 m
f1 = Hz
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
Світло з довжиною хвилі 550 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,1 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 2,5 м (між першими темними смугами з обох боків).
λ = 550 nma = 0,1 mmL = 2,5 m
w = mm
3Розчини
1.Пружини й маятники
Відповідь: g = 3,701 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Знайдіть g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/4² = 3,701 m/s²
Відповідь
g = 3,701 m/s²
2.Пружини й маятники
Відповідь: U = 0,5 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Повна енергія
E = ½·k·A² = ½·400·0,08² = 1,28 J
Енергія пружини в точці x
U = ½·k·x² = ½·400·0,05² = 0,5 J
Відповідь
U = 0,5 J
3.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: f1 = 80 Hz
Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.
Довжина хвилі цієї моди
λ = 2L/n = 2·0,5/1 = 1 m
Частота
f = v/λ = 80/1 = 80 Hz
Відповідь
f1 = 80 Hz
4.Хвилі, звук і оптика
Відповідь: w = 27,5 mm
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Перша темна смуга
y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·2,5/(0,1 × 10⁻³) = 13,75 mm
Ширина центрального максимуму
w = 2y₁ = 27,5 mm
Відповідь
w = 27,5 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics