Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,3 kg на пружині з k = 280 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 6 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

m = 3,3 kgk = 280 N/mA = 6 cmx = 1 cm

v = m/s

2.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 460 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 1,1 kgk = 460 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

3.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «гліцерин» (n = 1,47) до плоскої межі із середовищем «етанол» (n = 1,36). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 1,47n₂ = 1,36

θ_c = °

4.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 633 нм падає під прямим кутом на ґратку з 600 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₁ максимуму порядку 1.

N = 600 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,5449 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(280/3,3) = 9,211 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 9,211·√(0,06² − 0,01²) = 0,5449 m/s

Відповідь

v = 0,5449 m/s

2.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 62,73 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(460/1,1) = 20,45 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,15·20,45² = 62,73 m/s²

Відповідь

a_max = 62,73 m/s²

3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 67,69 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,36/1,47 = 0,9252

Критичний кут

θc = arcsin(0,9252) = 67,69°

Відповідь

θ_c = 67,69°

4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₁ = 22,32 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/600 mm = 1,667 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(1,667 × 10⁻⁶) = 0,3798

θ = 22,32°

Відповідь

θ₁ = 22,32°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics