Хвилі та оптика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.Пружини й маятникиСередня
0,7 kgk = 450 N/mA = 16 cmx = 5 cm

Вантаж масою 0,7 kg на пружині з k = 450 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 16 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 5 cm від положення рівноваги.

m = 0,7 kgk = 450 N/mA = 16 cmx = 5 cm
v = m/s
2.Пружини й маятникиСкладна
t (s)x (cm)t = ?5,4

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 4 s і амплітудою 9 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 5,4 cm?

T = 4 sA = 9 cmx = 5,4 cm
t = s
3.Хвилі, звук і оптикаСередня
P5 × 70 dB

Одна машина дає рівень звуку 70 дБ у певній точці. Знайдіть рівень β у цій точці, коли одночасно працюють 5 однакових машин (некогерентні джерела).

β1 = 70 dBn = 5
β = dB
4.Хвилі, звук і оптикаСкладна
f1​ = 15 cmf2​ = 12 cm25 cm30 cm

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 30 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 15 см і лінза 2 з f₂ = 12 см. Предмет стоїть на відстані 25 см перед лінзою 1. Знайдіть положення di2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f1 = 15 cmf2 = 12 cms = 30 cmdo = 25 cm
di2 = cm

3Розчини

1.Пружини й маятники

Відповідь: v = 3,854 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(450/0,7) = 25,35 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 25,35·√(0,16² − 0,05²) = 3,854 m/s

Відповідь

v = 3,854 m/s
2.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,4097 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/4 = 1,571 rad/s

Виразіть час

0,6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,6) = 0,6435 rad
t = 0,6435/1,571 = 0,4097 s

Відповідь

t = 0,4097 s
3.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 76,99 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Загальна інтенсивність

I = 5·I₁

Рівень

β = 70 + 10·log₁₀(5) = 76,99 dB

Відповідь

β = 76,99 dB
4.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: di2 = 4,615 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/di1 = 1/15 − 1/25 → di1 = 37,5 cm

Предмет для лінзи 2

do2 = 30 − 37,5 = −7,5 cm

Кінцеве зображення

1/di2 = 1/12 − 1/(−7,5) → di2 = 4,615 cm

Відповідь

di2 = 4,615 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics