1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 4y′ + 64y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 4y′ + 64y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Бактеріальна культура починається з 2000 клітин і росте за законом dN/dt = k·N з k = 0,09 h⁻¹. Через скільки годин t буде 20000 клітин?
N0 = 2000k = 0,09 h⁻¹N = 20000
t = h
3.Середня
Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 22 °C. Через 9 min її температура становить 13 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 17 °C?
T0 = 3 °CTa = 22 °CT(9) = 13 °CT = 17 °C
t = min
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 6y′ + 5y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 1. Знайдіть y(1,5).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(1.5) =
5.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 16,25y = 16,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,5); кути в радіанах.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 2y′ + 26y = 52 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 2y′ + 26y = 52y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,25
- 2. t = 25,58 h
- 3. t = 16,08 min
- 4. y(1.5) = 0,892
- 5. y(0.5) = 1,236
- 6. ymax = 3,067
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.